Hallo, \(\mathbf R = (R, +, \cdot)\) ist Ideal, falls
1. \(0 \in I\)
2. \(\forall a, b \in I:a - b \in I\)
3. \(\forall a \in I\) und \( \forall r \in R\) ist \(r \cdot a \in I\)

und für ein \(A\subseteq R\) ist
\((A) := \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ R \atop \ A \subseteq J} J\)
das von A erzeugte Ideal in R.

Als Beispiel nehme ich \( R=\mathbb{Z} \) und schaue mir die erzeugten Ideale von \(A_1=\{\},A_2=\{0\},A_3=\{1\},A_4=\{2\}\) an.

\((A_1) = \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ \mathbb{Z} \atop \ \emptyset\subseteq J} J= \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ \mathbb{Z} } J=\{ 0\}\) (das triviale Ideal)

\((A_2) = \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ \mathbb{Z} \atop \ \{0\}\subseteq J} J=\{ 0\}\)

\((A_3) = \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ \mathbb{Z} \atop \ \{1\}\subseteq J} J=\mathbb{Z}\)

\((A_4) = \bigcap\limits_{J\ \mathrm{Ideal\ von}\ \mathbb{Z} \atop \ \{2\}\subseteq J} J=2\mathbb{Z}\)