Mengen und Teilmengen

Aufrufe: 1039     Aktiv: 03.02.2020 um 23:27
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Hallo zusammen ich hätte eine Frage zur dieser Aufgabe:

Wir wissen, dass es fur eine endliche Menge  X mit n Elementen genau n! Permutationen (bijektive Selbstabbildungen) gibt. Angenommen, eine 7−elementige Menge ist zerlegt in der Form X = A ∪ B in zwei disjunkte Teilmengen A, B von X, wobei |A| = 3 und |B| = 4 ist. Wie viele Permutationen von X gibt es, die A und B in sich überführen? Begründen Sie Ihre Antwort. 

Und zwar schon zum ersten Satz "es für eine endliche Menge X mit  n Elementen genau n! Permutationen (bijektive Selbstabbildungen) gibt"

Was beudetet das auf Deutsch? oder Was ist jetzt genau die Aufgebe ?  :D

Danke schonmal im Vorraus

 

 

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gefragt

Punkte: 12

 
Zu den n! Permutationen:
Du hast eine Menge {1,2,3} gegeben. Nun gibt es 3!=3*2*1=6 Möglichkeiten, diese Objekte aus der Menge nebeneinanderzulegen:
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1
Für eine 7-elementige Menge X gibt es nun 7!=5040 Möglichkeiten die Elemente nebeneinanderzulegen.
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,4,5,7,6 ... usw.   ─   holly 03.02.2020 um 13:27
ok alles klar danke dafür, aber ich habe auch jetzt mal in die Musterlösung geschaut da steht folgendes:

3! · 4! = 6 · 24 = 144

bedeutet die Aufgabe also nicht:
Das ich die Permutation von A und B miteinader multiplizieren muss ?

Weil ja die Menge X (die 7 Elemente )zerlegt wurde in Teilmenge A (die 3 Elemente)und Teimenge B(4 Elemente)

Oder versteh ich da was Falsch ? :D   ─   n.elice99 03.02.2020 um 14:36
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Genau: Bei zwei getrennten Schlangen gibt es \(3!\cdot 4!\) Anordnungsmögllichkeiten. Es kann nur innerhalb einer Schlange getauscht werden.

Bei einer Schlange aus 7 Personen gibt es \(7!\) mögliche Reihenfolgen.

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Student, Punkte: 350

 
super danke schön   ─   n.elice99 03.02.2020 um 23:27

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Du hast die beiden Mengen A und B. Die Anzahl der Permutationen von \(A\) bzw. bijektiver Abbildungen \(A\rightarrow A\) ist \(|A|! = 3!\). FÜr \(B\) gilt analoges.

Nun kann jede Permution von \(A\) mit jeder Permutation von \(B\) kombiniert werden. Daher gibt es \(|A|!\cdot|B|!\) Möglichkeiten.

Praktisches Beispiel: WIr haben eine Gruppe aus 7 Personen, davon drei weiblich und vier männlich. Sie stehen getrennt nach Geschlechtern vor den Toiletten. Wiviele Möglichkeiten der Schlangenbildung gibt es?

Das ist zu unterscheiden von dem Fall einer Unisextoilette, vor der es nur eine SChlange mit 7 Personen gibt.

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Student, Punkte: 350

 
Also ist von deinem praktischem Beispiel Menge A die weiblichen Menschen und die Menge B die Männlichen. Und jetzt beispielsweiße die Toiletten der getrennten Geschlechter werden dicht gemacht aber es wird eine Unisextoilette eröffnet und alle Personen stürmen auf diese Toilette
Wie viele Möglichkeiten es gibt wie sie angereiht stehen könnten
Habe ich das richtig verstanden :D
Danke schon mal für alles   ─   n.elice99 03.02.2020 um 23:21

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