Die partielle Ableitung nach x lautet:

\( f_x(x,y) = \frac{-2xy^3} {(x^2+y^2)^2} \)

und die nach y:

\( f_y(x,y) = \frac{y^4+3x^2y^2} {(x^2+y^2)^2} \)

Die partielle Ableitung nach x ist also für alle Punkte auf der x-Achse konstant gleich 0, wohingegen die partielle Ableitung nach y für alle Punkte auf der y-Achse konstant gleich 1 ist. Die Funktion ist also partiell differenzierbar. Sie ist aber nicht (total) differenzierbar, da die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) nicht übereinstimmen. Zu prüfen bleibt also noch die Stetigkeit der Funktion im Punkt (0,0). [Wäre die Funktion (total) differenzierbar, wäre der Nachweis der Stetigkeit überflüssig, da diese, wie im 1-dimensionalen auch, aus der Differenzierbarkeit folgt.] Also zur Stetigkeit in (0,0):

\( \Vert f(x,y) \Vert = \Vert y\Vert \cdot \Vert \frac {y^2} {x^2+y^2} \Vert = \Vert y\Vert \cdot \Vert \frac {1} {1 + \left( \frac {x} {y}\right)^2} \Vert \)

Da die erste Norm für jede Nullfolge \( (x_n,y_n) \) gegen 0 konvergiert und die 2. Norm immer kleiner oder gleich 1 ist, konvergiert insgesamt \( f(x_n,y_n) \) gegen (0,0). Die Funktion ist in (0,0) also stetig.