Hallo,

das kommt sehr darauf an was ihr gemacht habt. Von der reinen Definition einer Untermanigfaltigkeit ist es schwer zu zeigen, ob wirkliche eine Umfkt vorliegt oder nicht. Dafür beweist man aber meist relativ früh einen Satz, der uns dabei hilft. 

$$ M :=  \{ x \in \mathbb{R}^n : f(x) = 0 \} $$

ist eine k-dimensionale Umfkt des \( \mathbb{R}^n \), wenn \( \mathrm{D}f(x) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-k}, \quad \forall x \in M \) surjektiv ist, also

$$ rk \left( \begin{matrix} \frac {\partial f_1} {\partial x_1} & \ldots & \frac {\partial f_{n-k}} {\partial x_1} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \frac {\partial f_1} {\partial x_n} & \ldots & \frac {\partial f_{n-k}} {\partial x_n} \end{matrix} \right) = n-k $$

gilt. 

Hier hast du nun zwei Funktionen gegeben. Es gibt noch einen Satz, der eine Aussage darüber macht, wann der Schnitt von zwei \( n-1\)-dimensionale Umfkt zu einer \( n-2\)-dimensionalen Umfkt werden.

Guck mal in dein Skript. Wenn ihr keine dieser Sätze bewiesen habt, müssen wir nochmal gucken :).

Nun zur 2)

Du kannst hier die Methode des Lagrange-Multiplikators nutzen. Du hast zwei Nebenbedingungen

$$ g_1(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 -1 = 0 $$

und

$$ g_2(x.y.z) = \frac {x^2} 2 + \frac  {y^2} 3 + \frac {z^2} 4 - 1 = 0 $$

Jetzt kannst du die Lagrangefunktion aufstellen, mit

$$ \Lambda(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = f(x.y.z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x.y.z)  $$

und davon das Maximum bestimmen.

Grüße Christian