Diffeomorphismus oder nicht?

Aufrufe: 928     Aktiv: 24.03.2020 um 21:06
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Hallo liebe Community, Ich frage mich gerade, wie ich am besten zeige, ob eine Funktion ein Diffeomorphismus ist oder nicht. Am Beispiel: Die Funktion f: R^2 ohne (0,0) -> R^2 ohne (0,0) mit f(x,y) = (x^2 - y^2 , 2xy) Wie ich hier zeige, dass es ein lokaler Diffeomorphismus ist, weiss ich und das ging auch schnell und einfach. Allerdings weiss ich nicht, wie ich zeigen soll, ob die Funktion f auch insgesamt ein Diffeomorphismus ist. Wäre (0,0) im Definitionsbereich enthalten, wäre es für mich logisch, dass es keiner ist, aber so weiss ich es nicht. Danke für Eure Hilfe und eine schöne Woche! Lukas
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Ich habe noch eine zweite Funktion, bei der es mir genauso geht.

Wäre schön, wenn ihr sagen könntet, ob es hier dann auch das selbe Argument ist, oder ob es ein anderes Argument ist/ andere Argumente gibt:

f(x,y) = (x^3 - 3xy^2 , 3yx^2 -y^3)
Wieder sind Definitions- und Wertebereich ohne (0,0) und wieder ist es ein lokaler Diffeomorphismus aber ich weiss nicht, wie ich den gesamten Diffeom. prüfen soll

Danke!!   ─   anonym59494 18.02.2020 um 12:42
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Die Funktion \( f \) ist als Abbildung \( f:\mathbb{R}^2 \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}^2 \setminus \left\{ 0 \right\} \) kein Diffeomorphismus, da sie nicht injektiv ist.

So werden \( (1,1) \) und \( (-1,-1 ) \)  beide auf \( (0,2) \) abgebildet.

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