Hat jemand ein passendes Beispiel für orthogonale Ebenen?

Aufrufe: 762     Aktiv: 19.02.2020 um 23:42
1
Am besten Parameterform oder Koordinatenform!!!
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 30

 
Kommentar schreiben
3 Antworten
1

Die drei Koordinatenebenen stehen jeweils orthogonal zueinander.

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K

 

Kommentar schreiben

1

Du solltest die Normalenvektoren gegebenenfalls zunächst berechnen und dann überprüfen. Diese müssen senkrecht zueinander stehen.

Du überprüftst also das Skalarprodukt der Normalenvektoren.

Wähle also zwei beliebige Normalenvektoren, deren Sklarprodukt null ist und du hast dein Beispiel!

Ein einfaches Verfahren ist hierbei:

`vec(n_1)=((a),(b),(c))` mit a, b, c beliebig!

`vec(n_2)=((b),(-a),(0))` 

Einfaches überprüfen mit:

`((a),(b),(c))*((b),(-a),(0))=a*b-a*b+0=0`

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 5.08K

 
aber brauche ich nicht zunächst 2 Ebenen und muss diese in die Normalform umwandeln? wir hatten das alles noch nicht mit Normalform und skalarprodukt deswegen bin ich etwas überfordert. ich weiß nämlich nicht wenn ich 2 ebenen zb in Parameterform habe muss ich diese erst gleichsetzten und schauen ob sie parallel, identisch sind oder ob es eine schnittgerade ist? bin echt überfordert. hast du vielleicht ein komplettes Beispiel an dem ich mich orientieren kann?   ─   julewarnke 19.02.2020 um 13:10
(2/1/4) x (-2/0/1) sind zwei Normalvektoren, wo das Skalarprodukt 0 ist. Wie aber bekomme ich diese beiden Normalvektoren in zwei Ebenen, mit denen ich eigentlich die Aufgabe starte?   ─   julewarnke 19.02.2020 um 13:37
Du weißt wie eine Ebene in der Koordinatenform aussieht?   ─   vt5 19.02.2020 um 14:57
ja   ─   julewarnke 19.02.2020 um 15:01
das kreuzverfahren mit bestimmen eines n Vektors bei einer Ebene habe ich jetzt auch verstanden. aber ich brauche 2 Ebenen die orthogonal zueinander sind   ─   julewarnke 19.02.2020 um 15:02
Aus der Koordinatenform kann man sofort den Normalenvektor ablesen:
Er besteht aus den Zahlen vor den Koordinatenbuchstaben (z.B. x,y,z) also z.B.:

`E: x+3y-2z=4` --> `vecn=((1),(3),(-2))`   ─   vt5 19.02.2020 um 15:03
aber wie finde ich ein passendes Beispiel wo zwei ebenen zueinander orthogonal sind bzw wie berechne ich ob zwei Ebenen orthogonal sind   ─   julewarnke 19.02.2020 um 15:18
Naja, also du hast doch jetzt zwei Normalenvektoren und ich habe dir gerade gesagt wie man aus diesen zwei Normalenvektoren wieder Ebenengleichungen macht. Weißt du, wie man aus der Koordinatenform wieder die Parameterform macht, oder ist das das Problem?   ─   vt5 19.02.2020 um 15:20
alles klar das macht sinn allerdings würde ich das Verfahren auch gerne für 2 Ebenen in Parameterform anwenden können auch mithilfe des Kreuzproduktes. Kannst du mir da vielleicht helfen?
   ─   julewarnke 19.02.2020 um 18:47
Ja das geht auch - aber mir ist noch nicht ganz klar, was du willst. Hast du zwei Ebenen vorliegen (in Parameterform), dann bestimmst du einfach den Normalenvektor und kannst so Orthogonalität überprüfen. Sollst du dir zwei Ebenen ausdenken, dann denkst du dir erst zwei Normalenvektoren aus und machts dann dazu passende Parametergleichungen!   ─   vt5 19.02.2020 um 21:19
1 Frage: Wie komme ich von dem Normalvektor auf die Parametergleichung?
2 Frage: Wenn ich zwei Ebenen habe und das Skalarprodukt des Normalvektors gleich 0 ist, bei beiden Ebenen, heißt das schon das sie beide zueinander orthogonal sind oder muss ich diese noch irgendwie gleichsetzten um sie mit einander zu verbinden?   ─   julewarnke 19.02.2020 um 21:46
zu Frage zwei: wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren beider Ebenen miteinander gleich 0 ist, sind die Ebenen zueinander Orthogonal.
zu Frage eins: Normalenvektor --> Koordinatenform --> Parameterform (bis auf Stützvektor)
Den ersten Pfeil habe ich oben schon angegeben, der zweite Pfeil beinhaltet, dass du dir je zwei unabhängige Vektoren ausdenkst, die orthogonal zum Normalenvektor der Geraden sind. Das sind die Spannvektoren deiner Ebene.   ─   vt5 19.02.2020 um 22:17
wenn ich jetzt zwei ebenen in parameterform habe die jeweils orthogonal sind, also durch das bestimmen des n Vektors mit dem Kreuzprodukt das skalarprodukt 0 ist woher weiß ich ob die beiden eben jetzt auch zueinander orthogonal sind? nehme ich beide n Vektoren der ebenen und setzte sie gleich?   ─   julewarnke 19.02.2020 um 23:00
Nein, du bestimmst das Skalarprodukt der beiden n Vektoren miteinander, nur wenn dieses gleich 0 ist, sind die Ebenen orthogonal zueinander! Und was meinst du mit Ebenen die "jeweils orthogonal" sind?   ─   vt5 19.02.2020 um 23:10
hast du vielleicht ein Beispiel mit zwei ebenen in der Parameterform die orthogonal zueinander sind? mit dem Rechenvorgang? bei mir macht es einfach noch nicht klick   ─   julewarnke 19.02.2020 um 23:18
Ja kommt...   ─   vt5 19.02.2020 um 23:21

Kommentar schreiben

0

Beispiel für zwei orthogonale Ebenen (durch den Ursprung):

Koordinatenform:

E1: `x+2y-z=0` `vecn_1=((1),(2),(-1))`

E2: `2x-y=0` `vecn_2=((2),(-1),(0))`

`vecn_1*vecn_2=2-2+0=0` --> Ebenen sind orthogonal zueinander!

Bestimme jetzt die Parameterform:

E1: `r_1=((0),(1),(2))` `r_2=((-1),(0),(-1))` Wähle zwei unabhängige, aber beliebige, Vektoren, deren Skalarprodukt mit `vecn_1` null ist!

E2: `s_1=((0),(0),(1))` `s_2=((1),(2),(0))` Wähle zwei unabhängige, aber beliebige, Vektoren, deren Sklarprodukt mit `vecn_2` null ist!

Mit diesen Vektoren kannst du jetzt einfach die Ebenen angeben.

Hast du zuerst die Parameterform gegeben, überprüfst du wie folgt auf Orthogonalität:

`(vecr_1xxvecr_2)*(vecs_1xxvecs_2)=0`

Versuche es doch mal mit meinen hier angegeben Vektoren!

(P.S. Wenn die Frage für dich beantwortet ist, und du die Antwort nachvollziehen konntest (gilt für deine vorherigen Fragen) ist es üblich, diese mit den grünen Häkchen neben der Bewertungsmöglichkeit der Antwort zu schließen...)

 

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 5.08K

 

Kommentar schreiben