Wenn \(a=1\) und \(b\neq2\), gibt es eine Lösung, denn dann lautet die letzte Zeile \((2-b)x_3=0\overset{2-b\neq 0}{\Longrightarrow}x_3=0\). Wenn man über den Rang der Matrix gehen, will, dann hat \(\begin{pmatrix}1&1&b\\0&b-1&3-b\\0&0&2-b\end{pmatrix}\) den Rang 3, falls \(b\neq1\). Dann hat auch die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang 3, da durch Hinzunahme einer Spalte der Rang nicht kleiner werden kann und der Rang einer \(3\times4\)-Matrix höchstens 3 sein kann. Also gibt es eine Lösung.

Was die Lösung allerdings vergessen hat, ist dass im Fall \(b=1\) keine Lösung existiert, da dann die erste und die zweite Spalte gleich sind und der Rang der Matrix folglich nur 2 ist. In diesem Fall gibt es keinen Wert für \(a\), sodass das System eine Lösung hat.