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Hallo,
ja genau das jede holomorphe Funktion in einem Gebiet beliebig oft komplex differenzierbar ist, kann man mit der Cauchy Integralformel zeigen.
Einen Beweis dazu findest du auf Wikipedia:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel#Folgerungen
Wenn etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
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Verwende ich die formel für den Beweis oder benutze ich sie um Rechnungen durchzuführen?
─
mathe92x
06.03.2020 um 12:04
Weil der Cauchysche Integralsatz gilt, gilt auch diese Aussage. Es ist eine Folgerung (ein Korollar) aus diesem Satz.
Die Formel wird also für den Beweis genutzt. Der Beweis ist aber auch konstruktiv, da er auch direkt eine Formel für die Ableitung konstruiert.
$$ f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta $$ ─ christian_strack 06.03.2020 um 12:09
Die Formel wird also für den Beweis genutzt. Der Beweis ist aber auch konstruktiv, da er auch direkt eine Formel für die Ableitung konstruiert.
$$ f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta $$ ─ christian_strack 06.03.2020 um 12:09