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"kann ich T frei wählen"
Theoretisch schon, aber die Lösung soll in Abhängigkeit von T angegeben werden.
Vorsicht bei den Ableitungen:
\(x'(t) = -e^{-t}(\cos t \color{red}{+} \sin t)\)
\(y'(t)\) stimmt.
D.h. die Bogenlänge auf \([0,T]\) beträgt \(s_0(T)= \displaystyle\int\limits_0^T \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\, \text{d}t = \displaystyle\int\limits_0^T \sqrt{2 e^{-2 t} (\sin^2 t + \cos^2 t)}\, \text{d}t = \displaystyle\int\limits_0^T \sqrt{2 e^{-2t}}\, \text{d}t = \sqrt{2}\left(1-e^{-T}\right)\).
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geantwortet
maccheroni_konstante
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K
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Sollte es nicht heißen: x’(t) = -e^(-t) ...?
─
duschmal
07.03.2020 um 22:24
Aber dein Ergebnis erhalte ich jetzt auch, danke schonmal. Nur den Letzten Schritt kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Wie bringe ich das Ergebnis der Wurzel jetzt in die Form dass ich die Länge des Kurvenstückes bestimmen kann?
─
duschmal
07.03.2020 um 22:43
Stimmt, da ist mir das Minus abhanden gekommen.
Bezieht sich die Frage auf das Integral? Also du integrierst über die Funktion \(\sqrt{2e^{-2t}}\) von 0 bis T (da T \(\geq\) 0).
T ist ja nichts anderes als ein Parameter. Du könntest z.B. die Stammfunktion ermitteln und nach dem Schema "F(T) - F(0)" das bestimmte Integral ermitteln. Dann erhält man den Wert ganz rechts. ─ maccheroni_konstante 07.03.2020 um 23:50
Bezieht sich die Frage auf das Integral? Also du integrierst über die Funktion \(\sqrt{2e^{-2t}}\) von 0 bis T (da T \(\geq\) 0).
T ist ja nichts anderes als ein Parameter. Du könntest z.B. die Stammfunktion ermitteln und nach dem Schema "F(T) - F(0)" das bestimmte Integral ermitteln. Dann erhält man den Wert ganz rechts. ─ maccheroni_konstante 07.03.2020 um 23:50
Okay ja ich glaub ich hab’s jetzt hinbekommen: https://ibb.co/jWFLWXB
Die 1 kann als Komstante eingesetzt werden bei der Stammfunktion oder?
LG ─ duschmal 08.03.2020 um 00:38
Die 1 kann als Komstante eingesetzt werden bei der Stammfunktion oder?
LG ─ duschmal 08.03.2020 um 00:38
Wo muss man die Eins einsetzen? Diese entsteht beim Integrieren.
\(\displaystyle\int\limits_0^T \sqrt{2 e^{-2t}}\, \text{d}t = \sqrt{2}\cdot \displaystyle\int\limits_0^T e^{-t}\, \text{d}t = \sqrt{2}\cdot \left[ -e^{-t} \right]_0^T = \sqrt{2} \cdot \left[-e^{-T} + 1\right] = \sqrt{2} \cdot \left[1-e^{-T}\right]\)
─ maccheroni_konstante 08.03.2020 um 01:05
\(\displaystyle\int\limits_0^T \sqrt{2 e^{-2t}}\, \text{d}t = \sqrt{2}\cdot \displaystyle\int\limits_0^T e^{-t}\, \text{d}t = \sqrt{2}\cdot \left[ -e^{-t} \right]_0^T = \sqrt{2} \cdot \left[-e^{-T} + 1\right] = \sqrt{2} \cdot \left[1-e^{-T}\right]\)
─ maccheroni_konstante 08.03.2020 um 01:05
Ich kann ja beim Bilden der Stammfunktion noch eine Konstante C anfügen. Wird die beim Integrieren dann zu der Eins?
─
duschmal
08.03.2020 um 15:25
Die entfällt beim bestimmten Integral.
Allg. gilt ja \(\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + c\).
Außerdem ist \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)\).
Also \(\left[F(b)-c\right] - \left[F(a)-c\right] = \left[F(b)-c\right] - F(a)+ c = F(b) - F(a) -c +c = F(b)-F(a)\). ─ maccheroni_konstante 08.03.2020 um 15:39
Allg. gilt ja \(\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + c\).
Außerdem ist \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)\).
Also \(\left[F(b)-c\right] - \left[F(a)-c\right] = \left[F(b)-c\right] - F(a)+ c = F(b) - F(a) -c +c = F(b)-F(a)\). ─ maccheroni_konstante 08.03.2020 um 15:39
Achso, also die Eins steht hier nur für den Wert den ich erhalte wenn ich 0 in das Integral einsetze, oder?
─ duschmal 08.03.2020 um 15:47
─ duschmal 08.03.2020 um 15:47
Ja, \( -e^{-0}= -e^{0} = -1\).
─
maccheroni_konstante
08.03.2020 um 15:49
Hat jetzt wohl etwas lange gedauert, aber jetzt hab ich’s verstanden. danke dir!
─
duschmal
08.03.2020 um 16:24