Bei Aufgabe 1.2) funktioniert zum Beispiel die Mengenoperation \( \setminus \)
\[ A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \setminus B \in \mathfrak{A} \]
Damit lassen sich dann die anderen Operationen darstellen, zB: \[ A\cup B = \Omega \setminus ((\Omega \setminus A ) \setminus B ) \]
Man sollte besser noch fordern \( \Omega \in \mathfrak{A} \)

Aufgabe 1.3) ist sehr interessant.. hier bin ich auch noch nicht zu einer vollständigen Lösung gelangt.
Dadurch, dass jede Folge in \( [0,1] \) liegt kann diese nur nicht konvergieren, wenn sie mindestens zwei Häufungspunkte hat. Sowas würde zum Beispiel mit einer Menge wie
\[ A= \left\{ n\in \mathbb{N} : \text{es existiert ein gerades k mit } 10^k \leq  n < 10^{k+1}  \right\} \]

funktioniern. Ich vermute aber, dass sich diese Menge nicht als Durchschnitt zweier Mengen aus C darstellen lässt. Ich gehe aber davon aus das die Lösung auch so eine ähnliche Menge seien wird, sodass \( x_n \) zwei Häufungspunkte hat. Wahrscheinlich wird auch sowas wie \( k^2 \) anstatt der \( 10^k \) oben in der Definition von der Menge A funktionieren.