Beweis für Menge

Aufrufe: 888     Aktiv: 11.03.2020 um 20:26
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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: ich soll zeigen, dass \((M \Delta N) = \emptyset <=> M = N \)

\((M \Delta N) \) ist so definiert: \(M \cup N) \setminus (M \cap N) \)

 

Weiß da gar nicht, wie ich da anfangen soll...hat jemand einen Tipp? 

 

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Student, Punkte: 96

 
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Die Rückrichtung hat El_Stefano schon schlüssig gezeigt. Für die Hinrichtung müssen wir Mengengleichheit zeigen, also zeigen wir (wie so oft) beide Inklusionen. Ich zeige nur \(M\subseteq N\), da die symmetrische Differenz (wie der Name schon sagt) symmetrisch ist, geht die andere Inklusion völlig analog.

Sei also \(M\Delta N=\emptyset\) und \(m\in M\) beliebig. Dann ist \(m\in M\cup N\). Wäre nun \(m\notin N\), dann wäre \(m\notin M\cap N\) und damit \(m\in M\Delta N\). Das kann natürlich nicht sein, also ist \(m\in N\). Da \(m\) beliebig war, haben wir \(M\subseteq N\) gezeigt. 

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Student, Punkte: 5.33K

 
Aber wieso kann \(m \in M \Delta N \) nicht sein? Hat das damit zu tun, dass \(M \Delta N = \emptyset \) ist?   ─   mathematikmachtspaß 11.03.2020 um 15:38
Ja genau. \(M\Delta N=\emptyset\), heißt ja, dass die symmetrische Differenz überhaupt keine Elemente enthält.   ─   sterecht 11.03.2020 um 15:49
Ok, aber was wäre jetzt der nächste Schritt? Zu zeigen, dass \(M = N\) und dann die Äquivalenz der beiden Ausdrücke?
Blick hier bei den Beweisen noch nicht wirklich durch..   ─   mathematikmachtspaß 11.03.2020 um 17:29
Wir haben jetzt also \(M\subseteq N\) gezeigt. Vertauscht man die Rollen von \(M\) und \(N\), bekommt man ebenso \(N\subseteq M\). Per Definition sind diese zwei Aussagen äquivalent zu \(M=N\), das heißt wir haben die Richtung \(\Longrightarrow\) von deiner Aussage gezeigt. Die Richtung \(\Longleftarrow\) hat El_Stefano in seiner Antwort gezeigt.   ─   sterecht 11.03.2020 um 18:19
Ok, dann versuch ich mal das Ganze zu verstehen, Danke!   ─   mathematikmachtspaß 11.03.2020 um 20:26

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Die Rückrichtung (<=) ist in diesem Fall trivial: Wenn M = N, dann ist \( M \cup N = M \) und \( M \cap N = M \) Wenn du nun die symmetrische Differenz \( \Delta \) gemäß deiner Definition bestimmst, ist die Mengendifferenz von M und M die leere Menge. Wenn eine Richtung trivial ist, dann ist die andere meist etwas tricky: Vielleicht könnte man diese Aussage mittels Widerspruch beweisen, aber da bin ich mir auf die Schnelle gerade auch nicht so sicher.
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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
Und ja das kann man auch alles noch etwas formeller aufschreiben. Z.B. Wenn M = N, dann gilt für alle m in M, dass m in N liegt. Und solche Aussagen setzt man dann für Vereinigung und Schnitt fort. Bei der Mengendifferenz ist dann die Negation und das führt zur gewünschten Aussage.   ─   el_stefano 10.03.2020 um 13:08
Hab jetzt \((M \Delta N)\) umgeformt zu \((x \in M \lor x \in N \land \lnot(x \in M \land x \in N)) \)

und \((M = N) \) zu \((x \in M \Rightarrow x \in N)\)

Hab aber immer noch keine Ahnung, wie ich da weitermachen soll, bzw. ob das überhaupt so stimmt   ─   mathematikmachtspaß 11.03.2020 um 15:12

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