Injektivität zeigen

Aufrufe: 780     Aktiv: 18.03.2020 um 17:58
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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: Gegeben ist: \(f: M \rightarrow N \)

Ich soll zeigen, dass folgende zwei Aussagen äquivalent sind:

\((i) f \text{ ist injektiv und}\)

\((ii) \text{ für alle } x_{1} \in M \text { und } x_{2} \in M \text{ folgt aus } x_{1} \not= x_{2} \text {, dass } f(x_{1}) \not= f(x_{2})  \)

Definition von Injektiv wäre ja einmal: \(\forall a \in N: \#f^{-1} (a) \le 1 \)

oder: \(\forall a,b \in M: a \not= b \rightarrow f(a) \not= f(b) \)

Die 2. Definition spiegelt ja eigentlich das \((ii)\) wieder, wie soll ich da dann noch zeigen, dass die beiden Aussagen äquivalent sind?

 

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Dann sollst du vermutlich die andere Definition benutzen.

(i)\(\Rightarrow\)(ii) funktioniert sehr einfach per Widerspruch, für (ii)\(\Rightarrow\)(i) betrachtest du am besten die Kontraposition von (ii).

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Wie ist das gemeint mit dem Widerspruch?   ─   mathematikmachtspaß 16.03.2020 um 15:55
Angenommen, (i) gilt und (ii) wäre falsch. Dann gäbe es \(x_1\neq x_2\) mit \(f(x_1)=f(x_2).\) Dann ist aber \(x_1,x_2\in f^{-1}(f(x_1))\Longrightarrow \#f^{-1}(f(x_1))\geq2\). Widerspruch zur Injektivität.
Ein ganz klassischer Widerspruchsbeweis. Man nimmt an, dass die zu zeigende Aussage falsch ist und führt das dann zu einem Widerspruch.   ─   sterecht 16.03.2020 um 15:59
Der 2. Teil ist mir nicht klar, wieso kommt da \(\ge 2 \)?   ─   mathematikmachtspaß 16.03.2020 um 16:11
Ich konnte zwei Elemente angeben, die im Urbild enthalten sind, nämlich \(x_1\) und \(x_2\), da beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Also enthält das Urbild mindestens zwei Elemente (es könnte ja auch noch mehr Elemente geben, die darauf abgebildet werden, deshalb \(\geq\) und nicht \(=\).)   ─   sterecht 16.03.2020 um 16:24
ok, Check! Wenn ich jetzt die Kontraposition von \((ii) \) habe, wäre das ja: \(f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2\)
Aber wie kann ich mit dem jetzt weiterarbeiten?
Und generell noch eine Frage zu den Beweismethoden: Woher weiß man, wann man was verwenden kann/muss und gibt es so eine Art Zusammenfassung mit den ganzen Beweismethoden?
  ─   mathematikmachtspaß 17.03.2020 um 12:16
Sei \(a\in N\) und \(f^{-1}(a)\neq\emptyset\) (sonst sind wir fertig). Seien weiter \(x_1,x_2\in f^{-1}(a)\), also \(f(x_1)=f(x_2)=a\). Nach der Kontraposition von (ii) ist nun \(x_1=x_2\), also \(\#f^{-1}(a)=1\). Damit sind wir fertig.
Zur Wahl der Beweismethode: Am Anfan einfach viel rumprobieren mit direkter Argumentation, Widerspruch etc., nach einiger Zeit entwickelt man eine gewisse Intuition, was am besten funktioniert.   ─   sterecht 17.03.2020 um 12:40
Ok, vielen Dank!   ─   mathematikmachtspaß 18.03.2020 um 17:58

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