Injektivität mehrerer Funktionen zeigen

Aufrufe: 631     Aktiv: 19.03.2020 um 13:41
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Hallo, 

hab Folgendes gegeben:

\(f: M \rightarrow N \text{, }g: N \rightarrow O \)

\((i)\) Sind \(f\) und \(g\) injektiv, so auch \(g \circ f\)

Mein Ansatz/Lösung:

\(f\) ist injektiv, wenn gilt: Für jedes \(n \in N \text{ gibt es höchstens ein } m \in M \text{ mit } f(m) = n\)

\(g\) ist injektiv, wenn gilt: Für jedes \(o \in O \text{ gibt es höchstens ein } n \in N \text{ mit } g(n) = o\)

Zu Zeigen ist: \(g \circ f \text{ = injektiv, für jedes } o \in O \text{ gibt es höchstens ein } m \in M \text{ mit } g \circ f(m) = o \)

Beweis:

Es sei \(o \in O\) beliebig gegeben. Nun gibt es höchstens ein \(n \in N\) mit \(g(n) = o\), denn \(g\) ist injektiv.

Für dieses \(n\) gibt es höchstens ein \(m \in M\) mit \(f(m) = n\).

Also: \(g \circ f(m) = g(f(m)) = g(n) = o\) 

Ist dieser Beweis so vollständig?

 

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In der letzten Zeile fehlt um \(g\circ f\) eine Klammer, es müsste \((g\circ f)(x)\) heißen.

Bei beiden Schritten sagst du (völlig korrekt) "höchstens ein" und nimmst dann aber an, dass es existiert. (Sonst könntest du ja nicht damit rechnen) Aber was ist, wenn es keins gibt? In jedem Schritt solltest du da noch hinzufügen, dass wenn es kein Urbild gibt, dann \(g\circ f\) ebenfalls injektiv ist.

Schneller (und formaler) kommst du übrigens zum Ziel, wenn du benutzt

\(f\colon X\to Y \text{ injektiv}\ \Longleftrightarrow (\forall a,b\in X\colon f (a)=f (b)\Longrightarrow a= b).\)

Dann kannst du sagen: Seien \(m,n\in M\) mit \(g (f (m))=g (f (n))\). Da \(g\) injektiv ist, folgt \(f (m)=f (n)\) und da \(f\) injektiv ist, folgt \(m=n\), also ist \(g\circ f\) injektiv.

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Ok, aber nur das mit der Klammer? Denn ob ich \(x\) oder \(m\) aus \(g \circ f\) nehme, ist egal, oder?
Wieso nehme ich an, dass es existiert, bzw. ein Element darf ja auch existieren.   ─   mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 12:08
Ja, sorry, \(m\) ist natürlich korrekt. Was ich meine: Du sagst, dass es höchstens ein \(n\) mit \(g (n)=o\) gibt, also entweder eins oder keins. Wenn es eins gibt, kannst du so weitermachen, wie du es gemacht hast. Wenn es aber kein solches \(n\) gibt, dann kannst du nicht sagen, dass es höchstens ein \(m\) mit \(f (m)=n\) gibt, denn dieser Ausdruck ist dann überhaupt nicht definiert.   ─   sterecht 19.03.2020 um 13:27
Ok, verstehe, danke!   ─   mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 13:41

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