Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

Aufrufe: 1981     Aktiv: 22.03.2020 um 21:11
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Hallo, 

habe folgende Abbildungen: 

\(f_1 \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}; (a,b) \rightarrow a - \frac {1} {2}b  \)

\(f_2: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}; (a,b) \rightarrow a^2 + b^2 -1\)

Mein Ansatz:

Um jetzt auf Injektivität zu prüfen, würd ich für \(a,b\) Zahlen einsetzen, z.B. für \(a\) 3 und für \(b\) 2

Dann wäre bei der 1. Abbildung: \(f(3, 2) = 3 - 1 = 2\) 

Ab hier weiß ich aber nicht mehr weiter, bin ich auf dem richtigen Weg?

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Um zu zeigen, dass eine Funktion injektiv ist, musst du ansetzen \(f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\). Wenn du dann zeigen kannst, dass \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\) gilt, dann ist die Funktion injektiv. Wenn du zeigen willst, dass eine Funktion nicht injektiv ist, reicht ein Gegenbeispiel. Bei der ersten Funktion wäre das zum Beispiel \(f_1 (0,0)=f_1 (1,2)\), also ist sie nicht injektiv. Eine stetige Funktion von \(\mathbb R^2\) nach \(\mathbb R\) kann auch überhaupt nicht injektiv sein, denn im Zielbereich ist gar nicht genug "Platz", um die viel mehr möglichen Variablen unterzubringen. (Das ist aber kein formaler Beweis) Folglich ist die zweite Funktion auch nicht injektiv, findest du hier selbst ein Gegenbeispiel?

Um zu zeigen, dass eine Funktion surjekitv ist, startest du mit \(a\in\mathbb R\) beliebig und versuchst, \(x,y\) zu finden, sodass \(f(x,y)=a\). Bei der ersten Funktion gilt zum Beispiel \(f (a,0)=a\), also ist die Funktion surjektiv.

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Aber könnte \(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) nicht trotzdem injektiv sein, weil \(\mathbb{R}\) spiegelt ja den Zielbereich wieder, und da müsste ja nicht jedes Element getroffen werden, damit die Funktion injektiv ist.

Und zu deinem Beispiel: ich versteh nicht ganz, wie ich diese Zahlen in die Funktion einsetzen muss.

Bei \(f_1(0,0) = f_2(2,1) \) setze ich \(a=0, b=0\), aber was setze ich dann im rechten Ausdruck \(a-\frac {1} {2}b\) ein?   ─   mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 17:53
Der Punkt ist, dass du in \(\mathbb R^2\) so viel mehr Elemente hast als in \(\mathbb R\). Allerdings war ich ein bisschen vorschnell, es gibt solche injektive Funktionen, was ich geschrieben habe gilt nur für stetige Funktionen.

\(f_1 (0,0)=0-\frac12\cdot0=0\), du setzt die erste Zahl für a und die zweite für b ein. Ebenso ist \(f_1 (1,2)=1-\frac12\cdot 2=0.\)   ─   sterecht 19.03.2020 um 19:52
Ok, und weil \(f(0,0) = f(1,2) = 0 \rightarrow 0 \not= 1\)   ─   mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 20:30
Bei der Funktion ein Gegenbeispiel:
\(f(1,1) = f(2,3)\) wäre ja \(1+1-1 = 1 = 4 + 9 -1 = 12\)
Heißt dann: \(f(1,1) \not= f(2,3)\)
Wäre das ein richtiges Gegenbeispiel?   ─   mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 20:45
Du brauchst zwei gleiche Funktionswerte. Bei dir ist ja \(f(1,1)=1\neq 12=f(2,3)\).
Du musst zwei verschiedene Zahlenpaare einsetzen und es muss das gleiche rauskommen.   ─   sterecht 20.03.2020 um 14:12
Zählt \(f(-1, 2) = 4 = f(-2, 1)\) ?   ─   mathematikmachtspaß 20.03.2020 um 22:08
Ja, das passt.   ─   sterecht 20.03.2020 um 22:23
Ok, und die zweite Funktion wäre auch nicht surjektiv, da zum Beispiel: \(f(a,2) = a^2 = -3\) und die Wurzel von einer negativen Zahl ziehen geht ja nicht.   ─   mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 15:11
Nicht ganz. Du willst ja nicht die Nullstelle berechnen, sondern ein \(x\) finden, sodass \(f(a,b)=x\) keine Lösung hat. Nimmt man zum Beispiel \(x=-2\), dann steht da \(a^2+b^2=-1\), und das hat keine reelle Lösung, da Quadrate immer nichtnegativ sind. Also nimmt die Funktion nie den Wert -2 an und ist deshalb nicht surjektiv.   ─   sterecht 21.03.2020 um 15:47
Kommt \(a^2 + b^2 = -1\) dadurch zustande, dass du die \(-1\) auf die andere Seite getan und dann \(-2\) gerechnet hast?
Und bei der ersten Funktion war mein Gedankengang, dass du da für \(b\) \(0\) eingesetzt hast und dadurch \(a - \frac{1}{2} * 0 = a\) rausgekommen ist.
Aber das stimmt dann auch nicht, oder?   ─   mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 17:47
Wir hatten ja \(f(a,b)=-2\), oder eingesetzt \(a^2+b^2+1=-2\), und jetzt 1 subtrahiert ergibt \(a^2+b^2=-1.\)

Bei der ersten Funktion müssen wir für jedes \(x\) ein \(a\) und \(b\) finden, sodass \(f_1(a,b)=x\). Dazu wählen wir zum Beispiel \(a=x\) und \(b=0\), denn \(f(x,0)=x.\)   ─   sterecht 21.03.2020 um 20:18
Der Lösungsweg bei der zweiten Funktion ist mir jetzt klar, aber bei der ersten Funktion könnte man da nicht auch den selben Ansatz fahren und z.B. \(f(a,b) = 2 \) und dann \(a - \frac{1}{2}b = 2 --> a - b = 4 \)   ─   mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 20:47
Ja aber dafür gibt es ja Lösungen. Bei der zweiten Funktion gibt es für die Gleichung keine Lösung, bei der ersten aber eben schon. Wir möchten ja zeigen, dass die Funktion surjektiv ist, d.h. wir können hier nicht ein Beispiel finden, sondern beweisen, dass es für alle Zahlen funktioniert.   ─   sterecht 21.03.2020 um 20:56
Aso, dann geht ein Beispiel bzw. Gegenbeispiel nur, wenn man etwas widerlegen will.
Das mit dem für jedes \(a\) und \(b\) ein \(x\) finden, versteh ich immer noch nicht ganz... Wenn \(a=x\) und \(b=0\), wie seh ich dann, dass \(f(x, 0) = x\)?
Wird das in die Funktion so eingesetzt: \(x - \frac{1}{2}*0 = 0 => x\) ?   ─   mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 22:19
\(x-\frac12\cdot0=x\), nicht 0. Aber ja, in die Funktion einsetzen.   ─   sterecht 21.03.2020 um 22:38
Ok, dann hätte ich hier noch eine letzte Funktion, die ich überprüfen muss: \(f_3: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2: (a,b) \rightarrow (a+2b, 2a-b)\)
Muss ich die beiden Gleichungen in den Klammern getrennt betrachten, denn wenn nicht, dann wäre die Funktion nicht injektiv (was ich aber nicht glaube)
Gegenbeispiel wäre dann: \(f(0,0) = 0 = f(1,2)\)
   ─   mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 12:08
Diese Funktion bildet ja nicht in die reellen Zahlen, sondern in den \(\mathbb R^2\) ab, das heißt das Ergebnis ist keine Zahl, sondern ein Zahlenpaar. Zum Beispiel ist \(f_3(0,0)=(0+2\cdot0,2\cdot0-0)=(0,0)\) und \(f_3(1,2)=(1+2\cdot 2,2\cdot 1-2=(5,0))\).
Diese Funktion ist tatsächlich injektiv. Um das zu zeigen, beginnst du mit \(f(a,b)=f(c,d),\) oder eingesetzt \((a+2b,2a-b)=(c+2d,2c-d)\). Jetzt hast du zwei Gleichungen (die Gleichheit von Tupeln ist durch komponentenweise Gleichheit definiert), und die musst du umformen, bis du zum Ergebnis \(a=c\) und \(b=d\) kommst.
Die Funktion ist auch surjektiv. Um das zu beweisen, beginnst du mit \(f(a,b)=(x,y)\) oder eingesetzt \((a+2b,2a-b)=(x,y)\) und findest \(a,b\) in Abhängigkeit von \(x\) und \(y\).   ─   sterecht 22.03.2020 um 13:45
Man kann auch die die Maschinerie der Linearen Algebra verwenden.
So sind die Abbildungen \( f_3 \) und \( f_1 \) lineare Abbildungen zwischen reellen Vektorräumen.
Zu \( f_3 \) : Man berechnet nun nur den Kern dieser Abbildung. Für die Abbildung \( f_3 \) ist der Kern trivial. (Den Kern berechnet man, indem man die Darstellungsmatrix aufstellt). Somit ist \( f_3 \) injektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt dann, dass \( f_3 \) auch surjektiv ist.
Alternativ kannst du auch die Determinante von \( f_3 \) berechnen. Diese ist \( \text{det} \, f_3 = -5 \neq 0\) , somit ist \( f_3 \) bijektiv.   ─   anonym42 22.03.2020 um 14:07
Das ist natürlich korrekt und so hätte ich es auch gemacht, aber von den Fragen, die mathematikmachtspaß die letzten Tage gestellt hat (Definition von Funktionen, Komposition, Definition Injektivität) scheint es nicht so, dass dieses Wissen schon vorhanden ist. Deshalb habe ich versucht, mit der Definition zu arbeiten.   ─   sterecht 22.03.2020 um 14:10
Nope, das Wissen ist definitiv nicht vorhanden^^

Zu den Gleichungen: \(a +2b = c +2d\) hab da versucht nach \(b\) und \(d\) umzustellen, aber da löst sich beides Mal die Gleichung komplett auf und ich hab nur mehr eine leere Menge, wenn man da so sagen kann. Muss ich da für \(b\) und \(d\) selber Zahlen einsetzen?   ─   mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 14:39
Also du hast einmal die Gleichung \(a+2b=c+2d\) und zum anderen \(2a-b=2c-d\). Addierst du jetzt zum Beispiel das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten, bleibt \(5a=5c\), also \(a=c\) stehen. Setzt du das wieder in eine der beiden Gleichungen ein, kommst du dann auch auf \(b=d\).   ─   sterecht 22.03.2020 um 14:50
Was ist das für ein Verfahren? Wäre nie drauf gekommen, dass man das so machen kann.   ─   mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 18:29
Man nennt es glaub ich Additionsverfahren. Du hättest aber auch nach einer Variablen umstellen können und das in die andere Gleichung einsetzen (Einsetzverfahren). Man muss einfach so lange rumrechnen, bis es passt.   ─   sterecht 22.03.2020 um 18:47
Check, das Additionsverfahren kenn ich sogar noch^^
Dann reicht das so als Beweis für Injektivität?   ─   mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 21:11

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