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Hallo,
nutze folgenden Zusammenhang
$$ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $$
daraus erhalten wir
$$ \sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) $$
bzw
$$ \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) $$
Wenn du das einsetzt, erhälst du eine Summe von Sinus bzw Kosinusfunktionen. Diese kannst du dann mit den beiden Additionstheoremen
$$ \cos^2(t) = \frac 1 2(\cos(2t) +1 ) $$
bzw
$$ \sin^2(t) = \frac 1 2 (1 - \cos(2t)) $$
noch weiter vereinfacht werden und letztendlich gelöst werden.
Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Betrachten wir erstmal nur eins, das andere läuft ziemlich analog.
Wir haben jetzt das Integral
$$ \int \cos^4(t) - \cos^6(t) \, \mathrm{d}t = \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t - \int \cos^6(t) \, \mathrm{d}t $$
Wir betrachten zuerst das vordere
$$ \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t = \int \left( \frac 1 2 (\cos(2t) + 1) \right)^2 \, \mathrm{d} t = \frac 14 \int \cos^2(2t) + 2\cos(2t) + 1 \, \mathrm{d}t $$
Den ersten Summanden kannst du nochmal mit dem Zusammenhang
$$ \cos^2(2t) = \frac 1 2( \cos(4t) +1 ) $$
vereinfachen.
Danach kannst du jeden Summanden einzeln betrachten. Das gleiche machst du auch mit
$$ \int \cos^6(t) \, \mathrm{d} t $$
( hier einmal öfter) und mit
$$ \sin^2(t) = \frac 1 2(1 - \cos(2t) ) $$
kannst du das auch mit dem anderen Integral machen.
Das ganze dauert etwas, ist aber der einzige Weg der mir gerade dazu einfällt. Diese beiden Additionstheoreme würde ich mir übrigens immer im Kopf behalten. Die sind sehr häufig sehr hilfreich :) ─ christian_strack 22.03.2020 um 14:23
Wir haben jetzt das Integral
$$ \int \cos^4(t) - \cos^6(t) \, \mathrm{d}t = \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t - \int \cos^6(t) \, \mathrm{d}t $$
Wir betrachten zuerst das vordere
$$ \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t = \int \left( \frac 1 2 (\cos(2t) + 1) \right)^2 \, \mathrm{d} t = \frac 14 \int \cos^2(2t) + 2\cos(2t) + 1 \, \mathrm{d}t $$
Den ersten Summanden kannst du nochmal mit dem Zusammenhang
$$ \cos^2(2t) = \frac 1 2( \cos(4t) +1 ) $$
vereinfachen.
Danach kannst du jeden Summanden einzeln betrachten. Das gleiche machst du auch mit
$$ \int \cos^6(t) \, \mathrm{d} t $$
( hier einmal öfter) und mit
$$ \sin^2(t) = \frac 1 2(1 - \cos(2t) ) $$
kannst du das auch mit dem anderen Integral machen.
Das ganze dauert etwas, ist aber der einzige Weg der mir gerade dazu einfällt. Diese beiden Additionstheoreme würde ich mir übrigens immer im Kopf behalten. Die sind sehr häufig sehr hilfreich :) ─ christian_strack 22.03.2020 um 14:23
Danke, ist gelöst :D
─ pilzkopp 22.03.2020 um 15:23
─ pilzkopp 22.03.2020 um 15:23
Sehr gerne :) Freut mich zu hören.
─
christian_strack
22.03.2020 um 15:23
Wie geht es denn nun weiter? ─ pilzkopp 22.03.2020 um 14:11