DGL Lösung mit einer Faltung der Inhomogenität

Aufrufe: 1805     Aktiv: 23.03.2020 um 15:58
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Guten Abend

Eine weitere Aufgabe:

Eigentlich sollte diese Aufgabe nicht so schwierig sein. So wie ich das verstanden habe muss man einfach die Lösungen für den homogenen Teil finden und dann die Faltung mit der Inhomogenität, was ja \(t^2sin(t)\) entspricht ausführen.

Wenn ich aber die Allgemeine Lösung für den homogenen Teil der DGL 2. Ordnung bestimme, dann komme ich auf 0...

Dann würde ich im Integral (Siehe gelbe Markierung) über 0 integrieren. Habe ich etwas falsch gemacht?

 

Vielen Dank, wenn ihr euch dafür Zeit nimmt das anzuschauen.

 

 

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Hallo,

du darfst deine Randwerte natürlich nur in die allgemeine Lösung einsetzen. Deine Homogene Lösung muss nicht den Randwerten genügen.

Du hast also erstmal nur die homogene Lösung

$$ x_{hom}(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t) $$

Diese Art eine DGL zu lösen habe ich aber noch nie gesehen, deshalb bin ich leider unsicher wie es weiter geht. 

Habt ihr die Funktion \( \varphi(t-s) \) definiert?

Grüße Christian

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Ich habe es eben schon bei einem anderen Beispiel gesehen, dass die \(c_1,c_2\) bestimmt wurden. das \(\varphi(t-s)\) ist einfach die elementare Lösung (t-s) eingesetzt. Das heisst das wäre dann in diesem Fall:
\(c_1 sin(t-s) + c_2 cos(t-s)\)

Ich habe die Definition in die Frage gestellt.   ─   wizzlah 23.03.2020 um 12:00
Hmm ich habe noch nie gesehen, das durch die Randwerte bereits in der homogenen Lösung die Integrationskonstanten bestimmt wurden.
Allerdings habe ich jetzt mal etwas rumgerechnet und denke es könnte hier vielleicht doch sinnvoll sein. Außerdem denke ich, das die Anfangswerte hier vielleicht unbewusst sinnlos gewählt worden.

Ich habe die DGL jetzt einfach mal mit dem Exponentialansatz und dem Ansatz über die Störfunktion berechnet und erhalte folgende Lösung
$$ y(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t) - \frac 1 6 t^3 \cos(t) + \frac 1 4 t^2 \sin(t) + \frac 1 4 t \cos(t) $$
Die Probe passt auch.
Wenn wir hier aber nun \( y(0)=0 \) und \( y'(0) = 0 \) berechnen, verschwinden alle Summanden der inhomogenen Lösung und wir kommen wieder auf \( c_1 = c_2 = 0 \).
Vielleicht soll nur die Inhomogene Lösung die Lösung sein?#

Nun habe ich auch einfach mal das Integral berechnet
$$ \int\limits_0^t \varphi (t-s) \cdot b(s) \, \mathrm{d}s = c_1 \frac {(3t^2 - 3) \sin(t) + (3t-2t^3)\cos(t)} {12} + c_2 \frac {(2t^3+3t) \sin(t) - 3t^2 \cos(t)} {12} $$
Nun hat in dieser Lösung aber jeder Summand eine Integrationskonstante als Vorfaktor (anders als in der Lösung). Außerdem habe ich durch die Integrale keinen Summanden der ohne \( \sin(t) \) bzw \( \cos(t)\) ist.

So ganz macht das noch keinen Sinn für mich.   ─   christian_strack 23.03.2020 um 12:58
Vielen Dank für deine Inputs. Ich bin auch gerade dabei das ganze nochmals anzuschauen.   ─   wizzlah 23.03.2020 um 13:47
Was mir gerade auffällt. In der Definiton der elementar Lösung, steht das
$$ \varphi^{(n-1)} (0) = 1 $$
gelten muss. Für uns gilt \( n=2 \). Damit müsste
$$ \varphi^{(2-1)}(0) = \varphi ^{(1)} (0) = 1 \neq 0 $$
sein wie es aber in der Aufgabenstellung vorausgetzt wird.
Damit dürfte der Ansatz nicht funktionieren oder?   ─   christian_strack 23.03.2020 um 14:39
Mit \( x(0) = 0 \) und \( x'(0) = 1 \) kann man die Integrationskonstanten vernünftig wählen. Ich rechne es mal damit durch   ─   christian_strack 23.03.2020 um 14:40
Hmm aber es ist immer noch das Problem da, das nach dem integrieren jeder Summand ein Sinus oder Kosinus Term hat.   ─   christian_strack 23.03.2020 um 14:45
Du hast aber recht denke ich. Ich habe eben nochmals meinen Tutor gefragt und der meinte dass die Elementarlösung die AWP nicht erfüllt und die Definition 2.3.1 anzuwenden sei.
Man sollte dann : \(e(t) = sin(t) \) finden   ─   wizzlah 23.03.2020 um 14:47
Ach in der Lösung hat ja auch jeder Summand n Sinus oder Kosinus Term :D oh mann.
Aber es passt trotzdem noch nicht ganz:
$$ \int\limits_0^t \sin(t-s)\sin(s) s^2 \, \mathrm{d}s = \frac {(3t2-3)\sin(t) + (3t-2t^3) \cos(t)} {12} = -\frac 1 4 \sin(t) - \frac 1 6 t^3 \cos(t) + \frac 1 4 t^2 \sin(t) + \frac 1 4 t \cos(t) $$
Obwohl es ist ja nur eine Lösung der inhomogenen Gleichung. Vielleicht ist es ok das der Vorfaktor der homogenen Lösung abweicht. Der muss dann vielleicht noch angepasst werden. Die inhomogene Lösung stimmt aber :)   ─   christian_strack 23.03.2020 um 15:10
Ich kann dir gar nicht genug danken. Echt super nett dass du dir so viel Zeit nimmst mir zu helfen.
Ich seh nur noch nicht ganz wie man auf : \(e(t) = sin(t) \) kommen soll. Ich komme immer auf was anderes.   ─   wizzlah 23.03.2020 um 15:26
Das freut mich sehr zu hören :D Sehr gerne!
Wir erhalten diese Lösung mit den Randwerten \( x(0) = 0 \) und \( x'(0) = 1 \).
$$ y(x) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t) $$
Damit bekommen wir
$$ y(0) = c_1 \sin(0) + c_2\cos(0) = c_2 = 0 $$
und
$$ y'(0) = c_1 \cos(0) - c_2 \sin(0) = c_1 = 1 $$
Also
$$ y(t) = \sin(t) $$   ─   christian_strack 23.03.2020 um 15:36
Danke!!!   ─   wizzlah 23.03.2020 um 15:41
Ich habe da immer einen ganz blöden Fehler gemacht ... damn. :D   ─   wizzlah 23.03.2020 um 15:52
Passiert auch schnell. :D hab mich oben auch ewig dran aufgehalten ein Polynom ohne Sinus und Kosinus zu erzeugen, obwohl ich in der Lösung ja auch Sinus und Kosinus habe.
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäume nicht mehr .. :D   ─   christian_strack 23.03.2020 um 15:58
Absolut :D   ─   wizzlah 23.03.2020 um 15:58

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