Mehrdimensionale Integration ist ein spannendes, aber auch recht vielfältiges Thema. Es gibt verschiedene Typen von Integralen in mehrdimensionalen Räumen.

Zunächst kann man den Integralbegriff von Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) , (den man üblicherweise als Riemannintegral einführt)  auf Funktionen vom Typ \( f:\mathbb{R} ^n \to \mathbb{R} \) erweitern. Hierfür braucht man auch einen neuen Integralbegriff (also eine Erweiterung der bisherigen Definition eines Integrals). Hier wird dann das sogenannte Lebesgue Integral definiert.
Ähnlich wie das ein dimensionale Integral, das geometrisch einer "Fläche unter dem Graphen" entspricht, kann man ein mehrdimensionales Integral als eine Art "mehrdimensionales Volumens eines Graphen" auffassen. Hier sieht man schon, dass das Integrieren eng mit dem Volumenmessen verbunden ist. Deswegen braucht man für das Lebesgueintegral auch Maßtheorie, in der man sich mit allen Feinheiten und Kuriositäten des Problems, einer Teilmenge des \( \mathbb{R}^n \) ein Volumen zuzuordnen, beschäftigen darf.

Es gibt aber auch noch andere Typen von Integralen. So kann man zum Beispiel über eine Funktion \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) (oder auch \( f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) ) entlang eines Weges integrieren. Ist hier zum Beispiel \( F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) ein Kraftfeld (zum Beispiel das Gravitationsfeld), so entspricht das Integral über diese Funktion entlang eines Weges genau der Arbeit die verrichtet wird.
Mit solchen Wegintegralen kann man aber zum Beispiel die Länge einer Kurve bestimmen.

Ich hoffe das zeigt dir, dass so ein Seminar auf jeden Fall lohnenswert ist ;).

Ich kann mich da der ersten Antwort, was das fachliche angeht nur anschließen: Hinsichtlich der Anwendung könnte man vielleicht noch über die Wahrscheinlichkeitstheorie kommen, sich da vielleicht eine mehrdimensionale Verteilung hernehmen und da sich eventuell ein Beispiel aus der Wirtschaft konstruieren. Wahrscheinlichkeitstheorie ist im Allgemeinen nämlich auch über Maßtheorie aufgebaut. Könnte aber auch zu weit gehen für ein klassisches Analysis Seminar.