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Der Grund warum aufeinander folgende Quadratzahlen sich immer genau um eine ungerade Zahl unterscheiden, lässt sich einfach nachrechnen: \[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\] Da nun die Zahlen \( 2n+1 \) für \( n \in \mathbb{N} \) genau die ungeraden Zahlen sind, ergibt sich, dass die Quadratzahl \( n^2\) genau die Summe der ersten \(n \) (positiven) ungeraden Zahlen ist.
Das ganze lässt sich jetzt auch für Kubikzahlen durchrechnen: \[ (n+1)^3-n^3 = n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3n(n+1)+1 \] Das ist auch genau der Unterschied den Sie sich geometrisch mit den Würfeln überlegt haben. Mir ist nicht bekannt, dass diese Zahlen irgendeinen bestimmten Namen haben.
Formal lassen sich nun auch die Kubikzahlen als Summe schreiben. Das sieht dann so aus: \[ n^3=\left( \sum_{k=1}^{n} 3k(k-1) \right) + n \]
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