Wie berechne ich hier a und das Vektorprodukt, sodass der Betrag passt?

Aufrufe: 757     Aktiv: 24.03.2020 um 15:05
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Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, da ich für a den Wert -0,5 herausbekommen. Wenn ich diesen Wert jedoch einsetzte und das vektorprdoukt anhand des Kreuzproduktes ermittle, kommt ein vektor heraus der nicht, wenn man ihn nnoch berechnet, den vorgegeben Betrag hat.

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Hallo,

ich habe was anderes heraus. Machen wir es Schritt für Schritt:

Rechne zuerst allgemein das Vektorprodukt

$$ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

welchen Vektor bekommst du dabei heraus?

Grüße Christian

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Die zu lösende Gleichung lautet also:

\( \left| \left(\begin{array}{c} a \\ 1 \\ a \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \left| \left(\begin{array}{c} 1-a \\ 0 \\ a-1 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{(1-a)^2 + (a-1)^2} = 2\sqrt{2} \)

Nun gilt: \((1-a)^2 = (a-1)^2 \). Also folgt daraus:

\( \sqrt{(1-a)^2 + (a-1)^2} = \sqrt{2(1-a)^2} = \sqrt{2}(1-a) \)

Damit ist die Gleichung ganz einfach zu lösen.

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Student, Punkte: 130

 
leider verstehe ich nicht genau wie ich die Gleichung jetzt genau auflösen soll. Kommt denn als Ergebnis der Gleichung a raus?
Wäre mega lieb wenn Sie mir noch einmal helfen :/   ─   julewarnke 24.03.2020 um 14:47
also ich weiß jetzt das a 3 ist aber ich kann es nicht auflösen
   ─   julewarnke 24.03.2020 um 14:53
\( \sqrt{2}(1-a) = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow 1-a=2 \Leftrightarrow a = -1\)   ─   aerix 24.03.2020 um 14:54
vielen dank!!!   ─   julewarnke 24.03.2020 um 15:01
Es gibt tatsächlich 2 Lösungen:
Beim lösen der Gleichung wäre es eigentlich so richtig
$$ \sqrt{2(1-a)^2} = \sqrt{2} |1-a| = \sqrt{2} \cdot (\pm (1-a) ) $$

Nun können wir 2 Fälle betrachten:
und würden folgendermaßen rechnen:
$$ \sqrt{2} (1-a) = \sqrt{2} \cdot 2 $$
wir teilen beide Seiten durch \( \sqrt{2} \)
$$ \Rightarrow (1-a) = 2 $$
und addieren a und subtrahieren \( 2 \) und erhalten
$$ a = -1 $$

Oder
$$ \sqrt{2} 2 = \sqrt{2} \cdot (-(1-a)) $$
teilen wieder durch \( \sqrt{2} \) und lösen die Klammer auf
$$ 2 = a-1 $$
Nun addieren wir \( 1 \) und erhalten
$$ a= 3 $$

Beide Lösungen sind richtig.
   ─   christian_strack 24.03.2020 um 15:03
Richtig vielen Dank, habe ich oben bei der Umformung übersehen.   ─   aerix 24.03.2020 um 15:05

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