Für den Gradienten berechnest du die partiellen Ableitungen nach x und y, wie das geht, habe ich dir bereits in deiner letzten Frage beantwortet. Diese beiden Ableitungen schreibst du dann in einen Vektor und hast deinen Gradienten, denn der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen !
Die Hesse Matrix ist sozusagen die zweite Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion. Dafür nimmst du die partiellen Ableitungen, die du in deinem Gradienten hast und leitest diese wiederum nach x und y ab. Daraus erhältst du eine Matrix, die sogenannte Hesse Matrix. Du hast im Gradienten die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \) und \( \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \). Diese leitest du noch wiederum ab. Zur Berechnung von \( \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y) \) leitest du die partielle Ableitung erneut partiell nach x ab. Bei \( \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y) \) leitest du deine partielle Ableitung nach x nochmal nach y ab. Gleiches machst du mit \( \frac{\partial f}{\partial y \partial x}(x,y) \) und \( \frac{\partial f}{\partial y \partial y}(x,y) \), wo du die partielle Ableitung nochmal nach x, bzw. y ableitest. Das ganze schreibst du in eine quadratische 2x2 Matrix und hast damit deine Hesse Matrix.
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Die partielle Ableitung nach x lautet:
\( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 - 2x \cdot \ln(y^2 + 1) - 3 \)
Für die Hesse Matrix kannst du diese nun wiederum nach x und y ableiten:
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y) = 6x - 2 \cdot \ln(y^2 + 1) \)
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y) = - 2x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot 2y \)
Das gleiche machst du nun auch noch mit y. Also erst die partielle Ableitung bilden und diese wiederum nach x und y ableiten! ─ el_stefano 27.03.2020 um 11:10
\text{grad(f(x,y)) = }\overrightarrow{\text{∇}}\;\text{*}\;\text{f(x,y)}\;\text{=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac\partial{\partial x}\\\textstyle\frac\partial{\partial y}\end{pmatrix}\;\text{* }\;\text{f(x,y)=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac{\partial\;}{\partial x}\ast f(x,y)\\\textstyle\frac\partial{\partial x}\ast f(x,y)\end{pmatrix}\;\text{=}\begin{pmatrix}f_x{(x,y)}_{}\\f_y(x,y)\end{pmatrix}
Die Hesse-Matrix funktioniert simultan, nur dass du wie bereits gesagt, die Ableitung 2.Ordnung brauchst.
also du rechnest jetzt fxx, fxy, fyx, fyy (wobei hier fxy = fyx ist, somit kannst du einfach nur eins von beidem einsetzen und dann baust du dir damit deine Matrix auf.
fxx fxy
fyx fyy
und schon bist du fertig
─ thenrone 27.03.2020 um 12:26
Wobei es so viel gar nicht bringt an der Stelle, viel wichtiger wäre wenn du dir deinen Mittelstufenstoff zum Ableiten nochmal anschaust, denn das hat man durchaus schon mal gemacht und nur weil es hier etwas anders aussieht ist es, man mag es kaum glauben, immer noch das selbe :)
- oder auch möglich, schnapp dir eine Ableitung-/Integrationstabelle, die Hilft dir vielleicht auch schon weiter, die findest du online oder im Tabellenbuch deines Vertrauens.
Grundsätzlich frage ich mich jetzt was du "aufbieten", was normalerweise auf integrieren genannt wird, vor hast, du möchtest doch Ableiten?
Also bildest du erst einmal die Ableitung deiner Funktion nach x, also fx(x,y).
Dazu leitest du erst den ersten Term nach x ab und dann gehst du weiter zum zweiten Term, hier ist jetzt dein ln(y^2+1) ...
Hier hast du ein x^2 noch dran multipliziert und deshalb brauchst du hier eine Produktregel.
Dann leitest du erst das x^2 ab und multiplizierst dein ln wieder dran und dann müsstest du jetzt nach dem ln ableiten, da denkst du aber ganz scharf nach und stellt fest, dass das ding beim Ableiten nach x, beim nachdifferenzierten 0 ergibt und gehst weiter deines Weges zum dritten Term, welchen du jetzt auch locker flockig ableitest, das ist doch alles gar nicht so schwer, denn *zack* wir haben für die a) schon die halbe Miete eingefahren, denn fx(x,y) ist bereits geschafft.
Das gleiche kannst du jetzt noch nach y machen, aber Obacht wir wollen die Ableitung 1. Ordnung, deshalb leitest du nicht jetzt schon den Term ab, welchen du in vorherigen schritten errungen hast, sondern nimmst wieder die Funktion vom Anfang :)
Und grundsätzlich ist die Ableitung vom ln(x) -> (1/x)*x' <- Hier nicht das Nachdifferenzieren vergessen.
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter :) ─ thenrone 27.03.2020 um 17:27