(a) Bei dieser Aufgabe gilt es die Auszahlung im Falle von 3 verschiedenen Farben so zu wählen, dass am Ende ein faires Spiel (also Gewinne und Verluste gleichen sich aus) entsteht. Die Eigenschaft eines fairen Spiels ist, dass der Erwartungswert = 0 ist. Du hast nun verschiedene Angaben gegeben, womit man den Erwartungswert des Spiels berechnen kann. Der Erwartungswert ergibt sich aus der Auszahlung multipliziert mit der Eintrittswahrscheinlichkeit. Achte darauf, dass im Falle keiner positiven Auszahlung jedoch trotzdem der Preis des Spiels bezahlt werden muss. Daraus ergibt sich \( 10 \cdot \frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{6} - 5 \cdot \frac{4}{6} = 0 \). Diese Gleichung kannst du erst zusammenfassen und dann nach x auflösen. Wenn ich mich jetzt im Kopf nicht verrechnet habe, sollte dort x = 10 rauskommen.

(b) Da bin ich mir selber nicht hundertprozent sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe. Scheinbar tritt beim Drehen des veränderten Glücksrades rot mit 2p und grün mit 1p Wahrscheinlichkeit ein. Und wir haben die Pfadwahrscheinlichkeit für das Ergebnis rot-rot-blau mit 0,036 gegeben. Die Wahrscheinlichkeit für das Drehen des blauen Feldes beträgt anscheinlich 1 - 3p. Demzufolge würde für das Ergebnis rot-rot-blau gelten, dass \( 0,036 = 2p \cdot 2p \cdot (1-3p) \) gilt. Das lässt sich umformen zu: \(0,036 = -12p^3 + 4p^2 \) oder \( 0 = -12p^3 + 4p^2 - 0,036 \). Wenn man davon die Nullstellen berechnet, dann erhält man folgende 3 Lösungen: \( p_1 = -0,08; p_2 = 0,11 ; p_3 = 0,3 \). Da eine negative Wahrscheinlichkeit nicht existiert, fällt die erste Lösung schonmal weg. Auch p3 ist nicht möglich, da wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für blau über 0,5 liegen muss und das eben bei den gegebenen Daten nicht stimmen würde. Demzufolge wäre also p=0,11 die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit von blau: \( 1- 3p = 1 - 3\cdot 0,11 = 0,67 \). Zur Berechnung des Innenkreiswinkels berechnen wir nun noch: \( 360 \cdot 0,67 \approx 240 \). Demzufolge müsste der Innenwinkel des blauen Feldes ungefähr 240 Grad betragen.

Wie gesagt bei (b) bin ich mir nicht so 100% sicher, ob das wirklich der geforderte Weg ist, vielleicht kann das jemand anderes bestätigen oder eben gegebenenfalls korrigieren.