Ableiten: Probleme beim Vereinfachen

Aufrufe: 856     Aktiv: 30.03.2020 um 11:08
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Guten Morgen,

ich muss folgende Funktion ableiten:

\frac {x} {\sqrt{a^2 - x^2}\}

Durch die Quotientenregel komme ich wie beim Ableitungsrechner auf folgende Form:

 

Ich komme jedoch bei dem Vereinfachen bzw. umschreiben nicht weiter.

Meine Dozentin erwartet die unterste Form in der alles gekürzt ist. Ich kann die Schritte beim Umformen jedoch nicht nachvollziehen. Kann mir da einer bitte weiterhelfen?

 

Danke im Voraus!

LG

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Student, Punkte: 20

 
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Ich denke du meinst den Letzten schritt, ich würde nicht, wie sie in der vorletzten Zeile den Bruch zerlegen, sondern ich würde, mit einer geschickten 1 erwetern, also sqrt(a^2 - x^2) und somit hast du dann oben auf dem Bruchstrich a^2 und unter dem Bruchstrich das (a^2 - x^2)^(3/2)

 

 

LG

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Student, Punkte: 55

 
Danke, es hat geklappt :)
Ich kam leider nicht auf die Idee da zu erweitern

LG   ─   verratti 30.03.2020 um 10:42
Da kommt man aber rein, es gibt zwei Tricks die eigentlich immer helfen, mit einer "geschickten" 1 zu multiplizieren oder eine geschickte "0" zu addieren :)   ─   thenrone 30.03.2020 um 10:45
Was genau versteht man unter einer geschickten 0 ?   ─   verratti 30.03.2020 um 10:47
Wenn du etwas dran addierst und das gleiche wieder subtrahierst, um dann einen Term bspw. so umformen zu können, damit du evtl. eine Binomische Formel anwenden kannst o.ä. und dann so zu deinem Ziel kommst   ─   thenrone 30.03.2020 um 10:51
Danke Dir! :)

VG   ─   verratti 30.03.2020 um 10:53

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Hallo,

irgendwann ist aber auch alles fertig gekürzt. ;) Wie weit willst du denn kürzen? Das einzige was du noch machen könntest, wäre

$$ \frac {a^2} {(a^2 - x^2)^{\frac 3 2}} = \frac {a^2} {(a^2(1- \left(\frac x a \right)^2 ))^{\frac 3 2}} = \frac {a^2} {a^3 (1- \left( \frac x a \right))^{\frac 3 2}} = \frac 1 {a(1-\left(\frac x a \right))^\frac 3 2} $$

Grüße Christian

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 
Hallo Christian,

das Problem ist dass ich noch nicht so weit komme.
Ich komme leider nicht auf die gekürzte Version so wie sie da steht.

LG   ─   verratti 30.03.2020 um 10:41
Oh tut mir leid da habe ich dich falsch verstanden:

$$ \begin{array}{cccc} \frac {\sqrt{a^2 -x^2} + \frac {x^2} {\sqrt{a^2 - x^2}}} {a^2 - x^2} & = & \frac {\frac {\sqrt{a^2 -x^2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2}} {\sqrt{a^2 -x^2}} + \frac {x^2} {\sqrt{a^2- x^2}}} {a^2 - x^2} \\ & = & \frac {\frac {a^2 -x^2} {\sqrt{a^2 -x^2}} + \frac {x^2} {\sqrt{a^2 - x^2}}} {a^2 - x^2} \\ & = & \frac {\frac {a^2 -x^2 +x^2} {\sqrt{a^2- x^2}}} {a^2- x^2} \\ & = & \frac {\frac {a^2} {\sqrt{a^2-x^2}}} {a^2 - x^2} \\ & = & \frac {a^2} {\sqrt{a^2 -x^2} (a^2 - x^2)} \\ & = & \frac {a^2} {(a^2 -x^2)^{\frac 3 2}} \end{array} $$

Grüße Christian   ─   christian_strack 30.03.2020 um 10:48
Vielen Dank Christian!   ─   verratti 30.03.2020 um 10:54
Sehr gerne :)   ─   christian_strack 30.03.2020 um 11:08

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