Hallo Vivien,

deine Frage lässt ja relativ viel Spielraum, da du kein konkretes Problem hast, sondern mehr ein ganzes Themengebiet erschließen und verstehen willst. Ich probiere dennoch mal, dir ein paar Ansätze und Ideen mit auf den Weg zu geben.

Das wichtigste für dieses Thema ist es, dass du das Grundhandwerkzeug verstanden hast. Dazu zähle ich sämtliche Integrationsregeln zur Bestimmung der Stammfunktion. Du solltest also wissen, wie man Polynome integriert, auch so spezielle Stammfunktionen von Exponentialfunktionen, Sin/Cos , oder \( \frac{1}{x} \) solltest du kennen und anwenden können. Dazu wird Daniel bestimmt in seinen Videos eine Menge Beispiele gegeben haben. Ich weiß nicht, ob ihr thematisch so weit seit, dass ihr auch die Integration durch Substitution oder die partielle Integration behandelt habt. Das musst du anhand bereits bearbeiteter Übungsaufgaben entscheiden, was thematische Schwerpunkte sind, die für dich relevant sind.

Wenn du die Grundlagen des Integrierens problemlos beherrschst, dann geht es um die Anwendung der Integration. Wie du es richtig erwähnt hast, dient die Integralrechnung zur Bestimmung von Flächen unter Kurven / Funktionen. Wenn du eine Funktion integrieren, also die Stammfunktion bilden kannst, dann ist das nächste, was du dir anschauen solltest, die Berechnung des bestimmten Integrals. Das bestimmte Integral \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \) dient der Berechnung des Flächeninhaltes unter der Funktion f(x) im Intervall von a bis b. Dabei entspricht F(x) der Stammfunktion deiner Funktion f(x). Um das bestimmte Integral in einem bestimmten Intervall zu berechnen, musst du also lediglich die entsprechenden Intervallgrenzen in deine Stammfunktion einsetzen und die Werte voneinander abziehen. Dabei gilt stets: obere Grenze - untere Grenze.

Zuletzt kannst du dich dann mit Themen aus der Anwendung beschäftigen. Häufig sind die Integrationsgrenzen nicht vorgegeben. Dann steht in der Aufgabe so etwas wie: Die Funktion f(x) und die x-Achse schließen eine Fläche ein, berechne deren Inhalt. Bei dieser Aufgabe sind somit a und b nicht explizit vorgegeben. Du musst dann also wissen, dass du zunächst die Integrationsgrenzen bestimmst, in dem du wie in diesem Fall erstmal die Nullstellen von f(x) berechnest.

Oder wie du ja bereits in deiner Fragestellung verpackt hast, kann die Fläche zwischen 2 Kurven gesucht sein. Auch hier hast du meistens nicht die Integrationsgrenzen gegeben, sondern musst diese erst durch Schnittpunktberechnung der beiden Kurven bestimmen. Anschließend kannst du dann die Differenzfunktion bilden und diese zwischen den ermittelten Schnittpunkten integrieren. Bsp. du hast 2 Funktionen f(x) und g(x) gegeben, dann berechnest du a und b in dem du f(x) = g(x) setzt und schaust, an welchen Stellen dort Gleichheit herrscht. Die beiden x-Stellen wären dann deine Integrationsgrenzen a und b. Anschließend würdest du berechnen: \( \int_a^b f(x) - g(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx \).

Achtung ich weise ausdrücklich darauf hin, dass es keine allgemeine Vorgehensweise gibt, die auf alle Aufgabentypen passt. Im Allgemeinen gilt es also immer die entsprechenden Integrationsgrenzen zu bestimmen und die jeweiligen Funktionen integrieren zu können. Der Rest ist dann meistens nur noch das richtige Einsetzen der entsprechenden Werte. Deshalb ist es wichtig, dass du das Integrieren sämtlicher Funktionen beherrschst und verschiedene Aufgabentypen mit unterschiedlichen Intervallgrenzen bearbeitest, so dass du in Gespür dafür bekommst, wie du die Integrationsgrenzen a und b bestimmst.

Ich hoffe das gibt dir erstmal weitere Ansätze und Ideen, wenn du noch Fragen hast, dann meld dich gern nochmal!

Viele Grüße

Stefan