Hallo,

Stochastik ist leider nicht mein Steckenpferd, aber versuchen wir es trotzdem mal. Wir haben die Matrix \( U \) gegeben.

$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 0{,}75 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}75 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}25 & 0 & 0{,}75 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0{,}25 & 1 \end{pmatrix} $$

Nun soll im ersten Fall Team A nach maximal 6 Zügen gewonnen haben. Da der Ball auf dem mittleren Feld startet, gibt es 3 Ereignisse, die in Frage kommen.

Nach 2 Zügen gewonnnen; nach 4 Zügen gewonnen, nach 6 Zügen gewonnen. 
Ist dir klar wieso nur diese 3?

Wir fangen mit dem Startvektor

$$ \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

an (der Ball startet immer auf dem Feld 3, also in der Mitte). 

Nun berechnen wir

$$ U^2 \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix} \frac 9 {16} \\ 0 \\ \frac 3 8 \\ 0 \\ \frac 1 {16} \end{pmatrix} $$

Da Team A gewinnen soll, suchen wir die Wahrscheinlichkeit, das der Ball auf dem Feld 5 liegt. Diese ist \( \frac 1 {16} \).

Nun müssen noch die anderen beiden Ereignisse ausgerechnet werden

$$ \begin{array}{ccc} U^4 \cdot \vec{s} & = &  ? \\ U^6 \cdot \vec{s} & = & ? \end{array} $$

Kannst du diese bestimmen? Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, müsste dann dein Ergebnis für den ersten Fall sein.

Kannst du dann auf dieser Grundlage die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten bestimmen?

d) 1) Diese Aufgabe erscheint mir sehr einfach. B gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 90\% \). Nun zeichne dir ein Baumdiagramm. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das B 3 Spiele hintereinander gewinnt?

2) Hier bin ich mir unsicher. Ich denke hier liegt eine Art von Kombination vor. Aus den Wahrscheinlichkeiten würde ich sagen, soll 3x Team B gewinnen und 2x Team A. 

3) Hier musst du die Wahrscheinlichkeiten \( 0{,}9 \) und \( 0{,}1 \) anpassen, sodass das gewünschte Ergebnis herauskommt. 

Versuch dich mal etwas bei den letzten beiden Aufgaben. Wenn du nicht weiter kommst, dann sag bescheid dann überlege ich auch nochmal weiter.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Edit: zur 2) da fällt mir doch noch ein: 

$$ \binom{4}{2} \cdot 0{,}9^2 \cdot 0{,}1^2 $$

steht für die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten 4 Runden beide Teams 2x gewinnen. Dabei wird kein Wert auf die Reihenfolge der Gewinne gelegt. Am Ende gewinnt aber dann Team B (da nochmal mit \( 0{,}9 \) multipliziert wird.

Wir berechnen hier also die Wahrhscheinlichkeit, das Team B am Ende gewinnt, aber Team A auch 2 Spiele gewinnt. Was meinst du?

Grüße Christian