Hallo,

wie digamma schon sagt ist die Schreibweise überall falsch. Schreibe lieber

$$ \int\limits f(x) \, \mathrm{d}x = \int\limits (3x-8)^4 \, \mathrm{d}x = \frac 1 {15} ( 3x-8)^5 $$

Nun zu deinen Lösungen:

1) ist richtig

2) ist nicht richtig. Klammere deine Klammer einmal aus, fasse alles zusammen und nutze dann die Linearität des Integrals

$$ \int\limits f(x) + g(x) \, \mathrm{d} x = \int\limits f(x) \, \mathrm{d} x + \int\limits g(x) \, \mathrm{d}x $$

3) Hier ist dir irgendwie ein \( x \) verloren gegangen. Mit \( \mathrm{d}x = \frac {\mathrm{d}z} {2x} \) gilt

$$ \int\limits \frac {2x} {\sqrt{x^2 -3}} \, \mathrm{d}x = \int\limits \frac {2x} {\sqrt{z} \frac {\mathrm{d}z} {2x} = \int\limits z^{-\frac 1 2} \, \mathrm{d}z $$
kannst du es jetzt richtig lösen?

4) ist richtig

5) leider nicht richtig. Gehe wie in 3 vor und setze 

$$ z = -x^3 +1 $$

6) leider auch nicht richtig. Nutze die partielle Integration. Ist dir klar was \(u(x) \) und was \( v(x) \) ist?

7) auch hier war der richtige Anfang aber du hast die Substitution nicht vernünftig durchgezogen

$$ z= 2x^3 - 5 \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac {\mathrm{d}z} {6x^2} $$

Dadurch kürzt sich dein Zähler.

8) Würde ich auch mit partieller Integration lösen

Die häufigsten Fehler hast beim ersetzen des Differentials beim substituieren. Wenn du das neue Differential berechnet hast, dann setze es auch komplett ein. Eine Substitution war nur erfolgreich, wenn die alte Variable komplett verschwunden ist.

Versuch dich nochmal an den Aufgaben. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian