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Du kannst wahrscheinlich auch Assoziativität und Kommutativität von \((P(M), \cap)\) annehmen. Dann musst du nur noch das Distributivgesetz nachprüfen.
Ergänzt nach Nachfrage: Es geht nicht um Elemente von `M`, sondern um Elemente von \(P(M\), also um Teilmengen von `M`. Das Distributivgesetz lautet dann: Für alle Teilmengen \(A, B, C \subseteq M\) gilt:
\[A \cap (B \mathrel \Delta C) = (A \cap B) \mathrel \Delta (A \cap C)\]
Da stehen links und rechts Mengen. Gleichheit von Mengen zeigt man in der Regel, indem man zeigt, dass jedes Element der einen Menge in der andern Menge enthalten ist, und umgekehrt.
Z.B.: Du möchtest zeigen, dass jedes Element in der linken Menge auch in der rechten enthalten ist. Sei also \(a \in A \cap (B \mathrel \Delta C)\). Dann ist \( a \in A\) und entweder \(a\in B\) oder \(a \in C\), aber nicht in beiden. Zu zeigen ist, dass `a` in \(A \cap B\) oder in \(A \cap C\) liegt, aber nicht in beiden.
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digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K
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Habe es oben ergänzt. Man braucht übrigens nur ein Distributivgesetz zeigen, da \(\cap \) kommutativ ist.
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digamma
31.03.2020 um 22:40
Man kann sich das auch schön mit Venn-Diagrammen veranschaulichen.
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digamma
31.03.2020 um 22:43
Zählt ein Venn-Diagramm auch als Beweis?
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mathematikmachtspaß
01.04.2020 um 10:37
Das würde ich, glaube ich, nicht anerkennen. Aber es hilft einem, sich die Situation zu veranschaulichen und einen Beweis zu finden.
Der Beweis ist nie schwierig, es ist eher nur aufwendig, eigentlich triviale Aussagen aufzuschreiben. Der Beweisanfang, den ich oben aufgeschrieben habe, ist ja leicht zu Ende zu führen: 1. Fall: \(a \in B\), aber \(a \notin C\). Dann ist `a`nach Voraussetzung auch in `a` und damit in \(A\cap B\)., aber nicht in `C`, also nicht in \(A\cap C\). 2. Fall: \(a \in C\), aber \(a \notin B\) geht entsprechend. Damit ist dann "\(\subseteq\)" gezeigt. Die andere Richtung, wenn `a` in der rechten Menge enthalten ist, dann auch in der linken, ist auch nicht aufwendiger. ─ digamma 01.04.2020 um 10:50
Der Beweis ist nie schwierig, es ist eher nur aufwendig, eigentlich triviale Aussagen aufzuschreiben. Der Beweisanfang, den ich oben aufgeschrieben habe, ist ja leicht zu Ende zu führen: 1. Fall: \(a \in B\), aber \(a \notin C\). Dann ist `a`nach Voraussetzung auch in `a` und damit in \(A\cap B\)., aber nicht in `C`, also nicht in \(A\cap C\). 2. Fall: \(a \in C\), aber \(a \notin B\) geht entsprechend. Damit ist dann "\(\subseteq\)" gezeigt. Die andere Richtung, wenn `a` in der rechten Menge enthalten ist, dann auch in der linken, ist auch nicht aufwendiger. ─ digamma 01.04.2020 um 10:50
Ansonsten hätte ich es so gemacht:
\(x \in (A \cap (B \Delta C)) <=> x \in (A \cap B) \Delta (A \cap C) \)
\( <=> x \in A \land x \in (B \lor C) \)
\(<=> (x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C) \)
\(<=> x \in (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)
Stimmt das so? ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 10:56
\(x \in (A \cap (B \Delta C)) <=> x \in (A \cap B) \Delta (A \cap C) \)
\( <=> x \in A \land x \in (B \lor C) \)
\(<=> (x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C) \)
\(<=> x \in (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)
Stimmt das so? ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 10:56
Das ist jetzt aber nicht `Delta`, sondern `uu`.
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digamma
01.04.2020 um 11:16
Wenn ich Delta auflöse, siehts ja so aus:
\(x \in (A \cap ((B \cup C) \setminus (B \cap C)) <=> x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C) \setminus (A \cap B) \cap (A \cap C)) \)
\(<=> (x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C) \land \lnot (x \in A \land x \in B) \land \lnot (x \in A \land x \in C) \)
\(<=> x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C) \setminus (A \cap B) \cap (A \cap C)) \) ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 11:48
\(x \in (A \cap ((B \cup C) \setminus (B \cap C)) <=> x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C) \setminus (A \cap B) \cap (A \cap C)) \)
\(<=> (x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C) \land \lnot (x \in A \land x \in B) \land \lnot (x \in A \land x \in C) \)
\(<=> x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C) \setminus (A \cap B) \cap (A \cap C)) \) ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 11:48
Du hast jetzt aber nur die rechte Seite umgeformt und dann wieder die rechte Seite rausbekommen. Ja, im Prinzip kann man das so machen. Dann verwendet man die Regeln der Aussagenlogik.
Allerdings hast du einen Fehler gemacht: Den Teil nach dem `setminus` musst du klammern. ─ digamma 01.04.2020 um 13:04
Allerdings hast du einen Fehler gemacht: Den Teil nach dem `setminus` musst du klammern. ─ digamma 01.04.2020 um 13:04
Umgeformt hab ich ja beide Seiten und dann hab ich die linke Seite umgeformt, bis ich zur rechten Seite gekommen bin.
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mathematikmachtspaß
01.04.2020 um 13:17
Das sehe ich nicht. Die zweite Zeile ist die Umformung der rechten Seite der ersten Zeile. Die Äquivalenz in der ersten Zeile ist die, die zu beweisen möchtest. Die darfst du natürlich nicht verwenden.
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digamma
01.04.2020 um 13:18
Und wenn ich es so schreibe:
\(x \in A \land((x \in B \lor x \in C) \setminus (x \in B \land x \in C)) \)
\(x \in A \land (x \in B \lor x \in C) \lor \lnot (x \in A \land (x \in B \land x \in c)) \)
\((x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \lor x \in c) \lor \lnot (x \in A \land x \in B) \land \lnot (x \in A \land x \in c)) \) ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 13:36
\(x \in A \land((x \in B \lor x \in C) \setminus (x \in B \land x \in C)) \)
\(x \in A \land (x \in B \lor x \in C) \lor \lnot (x \in A \land (x \in B \land x \in c)) \)
\((x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \lor x \in c) \lor \lnot (x \in A \land x \in B) \land \lnot (x \in A \land x \in c)) \) ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 13:36
Von der Idee her richtig, aber da die Umformungen sind nicht richtig. Die zweite Zeile müsste lauten
\((x\in A \wedge (x\in B \vee x \in C)) \wedge (x \in A \wedge \neg (x \in B \wedge x \in C))\) ─ digamma 01.04.2020 um 13:43
\((x\in A \wedge (x\in B \vee x \in C)) \wedge (x \in A \wedge \neg (x \in B \wedge x \in C))\) ─ digamma 01.04.2020 um 13:43
Ok, und das könnte ich noch umformen zu:
\(((x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \lor x \in c)) \land ((x \in A \land x \notin B) \land (x \in A \land x \notin C))\)
─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 14:22
\(((x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \lor x \in c)) \land ((x \in A \land x \notin B) \land (x \in A \land x \notin C))\)
─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 14:22
Fast. Das "oder" in der zweiten Klammer muss ein "und" sein. und beim Auflösen des "nicht" wird aus dem "und" ein "oder.
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digamma
01.04.2020 um 15:02
Alles klar, danke!
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mathematikmachtspaß
01.04.2020 um 15:17
Letzte Frage noch: Wenn ich jetzt Assoziativität für \((P(M), \Delta, \cap)\) zeigen möchte, muss ich dann
\(A \cap(B \Delta C) = (A \cap B) \Delta C \) zeigen? ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 15:32
\(A \cap(B \Delta C) = (A \cap B) \Delta C \) zeigen? ─ mathematikmachtspaß 01.04.2020 um 15:32
Den Rest kannst du dann alleine. Ein Tipp vielleicht noch: Statt die linke Seite solange umzuformen, bis sie die Gestalt der rechten Seite hat, ist es wahrscheinlich einfacher, beide Seite umzuformen, bis beide die gleiche Gestalt haben (z.B. disjunktive Normalform).
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digamma
01.04.2020 um 15:34
Es gibt keine Assoziativität für zwei Verknüpfungen. Was du hinschreibst, ist keines der Ringaxiome. Übertragen auf die ganzen Zahlen würde das heißen `a*(b+c) = (a*b)+c`. Das ist völliger Unsinn. Nein, da du schon weißt, dass \((P(M), \Delta)\) eine abelsche Gruppe ist und dass \((P(M), \cap)\) assoziativ und kommutativ ist, brauchst du tatsächlich nur noch das Distributivgesetz zu zeigen.
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digamma
01.04.2020 um 16:29
Aber ein Ringaxiom lautet nach meinem Skript: Ein Ring ist eine Menge \(R\) zusammen mit zwei Verknüpfungen: genannt Addition und Multiplikation, sodass gilt: Die Mulitplikation ist assoziativ und besitzt ein neutrales Element (genannt 1)
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mathematikmachtspaß
01.04.2020 um 21:19
Ja, aber die Multiplikation ist hier \(\cap\), und dass das assoziativ ist und ein neutrales Element besitzt, ist bekannt. Bei der Assoziativität ist aber immer nur eine der Verknüpfungen beteiligt, nicht beide. Nur beim Distributivgesetz sind beide beteiligt.
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digamma
02.04.2020 um 08:56
Ok, danke!
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mathematikmachtspaß
02.04.2020 um 12:24
Wie zeig ich das bei der Potenzmenge in Verknüpfung mit der Schnittmenge bzw. was ist da der Ansatz? ─ mathematikmachtspaß 31.03.2020 um 22:12