Die durchschnittliche Änderungsrate berechnet genau das, wie sie heißt: Um wie viel sich eine Größe in einem Zeitraum im Durchschnitt pro Einheit geändert hat.

Primitives Beispiel: Vor 5 Tagen hatte Peter 42€ auf seinem Konto, heute sind es 87€. Wie viel Geld ist durschnittlich pro Tag dazugekommen? 

Ich bin mir sicher, dass du mit dieser Aufgabe überhaupt keine Probleme hast. Du berechnest die Differenz der beiden Summen, also wie viel insgesamt dazugekommen ist, und teilst das durch die Anzahl der Tage, um den Durchschnitt pro Tag zu erhalten (du solltest auf 9€/Tag kommen).

Die Formel, die in deinem Buch steht, macht nichts anderes für eine beliebige Funktion \(f\) (statt den Geldbeträgen) in einem Intervall \([a,b]\) (statt von vor 5 Tagen bis heute): Zuerst wird die Gesamtänderung \(f(b)-f(a)\) berechnet, und das wird dann durch die Länge des Intervalls \(b-a\) geteilt. So kommt man auf die Formel, und ich hoffe, du erkennst die Parallelen zu der kleinen Aufgabe davor. Ich musste diese Formel nie auswendiglernen, weil sie einfach logisch das berechnet, was sie sagt.

Bei deiner Aufgabe musst du also für \(a,b\) die Intervallgrenzen einsetzen. Für das erste Intervall erhälst du so

\(\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=12\).

Es kann sein, dass euer Buch ein anderes Symbol für die mittlere Änderungsrate benutzt (das, das wir hatten, hat ein \(m\) genommen), das wird verschieden verwendet.

Zeichnerisch ist die mittlere Änderungsrate die Steigung der Geraden durch die Punkte \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\), in diesem Kontext spricht man auch von einer Sekante, weil die Gerade den Graphen (mindestens) zweimal schneidet. Du zeichnest eine die Gerade durch die beiden Punkte auf dem Funktionsgraphen und bestimmst deren Steigung mit einem Steigungsdreieck.