Nicht `ln` darf nicht 0 oder negativ sein, sondern das Argument von `ln`, also `a *x+1`. Das ist völlig unabhängig davon, was danach mit dem ln-Term gemacht wird. Ob er mit etwas anderem multipliziert oder addiert wird, oder was auch immer. Es muss also `a *x+1` positiv sein. Du musst die Werte von x bestimmen (in Abhängigkeit von a), für die dieser Term `> 0` ist, also die Ungleichung `a *x+1 > 0` nach x auflösen. Ich vermute mal, dass angegeben ist, ob a positiv oder negativ ist, sonst musst du eine Fallunterscheidung machen, wenn du durch a dividierst.

Was vor dem Logarithmus steht, ist für den Definitionsbereich egal, außer da steht nochmal was, das den Definitionsbereich einschränkt. Bei \(2x\) ist aber alles ok. 

Wir setzen also an, wie du schon richtig gesagt hast

\(ax+1>0\Longrightarrow ax>-1\)

Jetzt gibt es 3 Fälle:

• 1. Fall \(a=0\). Dann wird die Ungleichung zu \(0>-1\), was für alle \(x\) erfüllt ist.
• 2. Fall \(a>0\). Division der Ungleichung durch \(a\) ergibt \(x>-\frac1a\).
• 3. Fall \(a<0\). Analog zu Fall 2 erhalten wir \(x<-\frac1a\).

Für den Definitionsbereich können wir zusammenfassend schreiben

\(\mathbb D_{f_a}=\begin{cases}\mathbb R&\text{falls }a=0\\]-\frac1a,\infty[&\text{falls }a>0\\]-\infty,-\frac1a[&\text{sonst} \end{cases}\)