Hey,

die allgemeine Definition für das Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle \( a \) ist:

\( T(x,a) = \sum_{k=0}^n  \frac{f^{(k)}(x)}{k!}\cdot (x-a)^k \)

Dabei bezeichnet \( f^{(k)}(x) \) die k-te Ableitung der Funktion. Nun benötigst du also die Ableitungen der Logarithmusfunktion. Dein Entwicklungspunkt ist a = 1. Das 0-te Summenglied, also die 0-te Ableitung sprich den Funktionswert des Logarithmus können wir vernachlässigen, da der Logarithmus von 1 den Wert 0 hat. Somit müssen wir die Summe erst ab k = 1 betrachten. Dann gilt für das Taylorpolynom vom Grad n für den natürlichen Logarithmus:

\( T(x,1) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot (x-1)^k \)

Das kannst du ja anhand der einzelnen Ableitungen des Logarithmus mal nachrechnen und überprüfen.

Für die Abschätzung des Fehlerterms kann man dann das Konvergenzverhalten der Reihe betrachten. Stichworte hierfür wären Konvergenzradius, Quotientenkriterium, etc.

Für die Fehlerabschätzung brauchst du eine der Formeln für das Restglied, zum Beispiel die Integraldarstellung des Restglieds:

\[ f(x) =  T_n f(x; a) + R_n f(x; a)\\
= \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k +\int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t\]

(geklaut aus Wikipedia). Der Konvergenzradius hat nicht viel mit der Fehlerabschätzung zu tun.