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Freiheitsgrade sind einfach nur frei wählbare Variablen in deiner Lösung des linearen Gleichungssystems. Beim Lösen des linearen Gleichungssystems kann es ja zu verschiedenen Fällen kommen: entweder es existiert keine Lösung, es existiert eine eindeutige Lösung oder du hast unendlich viele Lösungen. Besitzt dein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, dann sind die Werte deiner Variablen eindeutig bestimmt.

Besitzt dein lineares Gleichungssystem nun Freiheitsgrade, dann besteht zwischen den Gleichungen eine gewisse Abhängigkeit, die dazu führt, dass du je nachdem wie viele Freiheitsgrade existieren mehrere Variablen frei wählen kannst und die Lösung des Gleichungssystems dann in Abhängigkeit dieser Wahl erfolgt. Du stellst sozusagen deine Lösungsmenge in Abhängigkeit deiner Freiheitsgrade dar und erhältst somit unendlich viele Lösungen für dein lineares Gleichungssystem, da du ja für die freien Variablen beliebige Werte wählen kannst und die anderen Lösungen der Variablen entsprechend der Abhängigkeit erfolgen.