Mir fallen zwei einfache Wege ein, das zu lösen:

1. Nach Potenzregeln gilt

\(i\cdot i^2\cdots i^{2020}=i^{1+2+\ldots+2020}\overset*=i^{\frac{2020\cdot2021}2}=i^{2041210}=i^{4\cdot?+2}=(i^4)^?\cdot i^2=1^?\cdot(-1)=-1\),

wobei bei \(\ast\) die Summenformel von Gauss angewandt wurde. Du hast sie ja erwähnt, also gehe ich davon aus, dass du sie kennst. Ansonsten haben wir eigentlich nur Potenzgesetze verwendet. Ich habe ein \(?\) anstatt einem Variablennamen geschrieben, weil ich verdeutlichen wollte, dass es überhaupt nicht interessiert, was für eine natürliche Zahl das ist.

2. Zuerst bemerken wir, dass \(i^{4n+1}\cdot i^{4n+2}\cdot i^{4n+3}\cdot i^{4n+4}=i\cdot (i^n)^4\cdot i^2\cdot (i^n)^4\cdot i^3\cdot (i^n)^4\cdot i^4\cdot (i^n)^4=i\cdot i^2\cdot i^3\cdot i^4=i\cdot(-1)\cdot(-i)\cdot1=-1\) für alle \(n\in\mathbb N_0\).

Von diesen Termen gibt es insgesamt \(\frac{2020}{4}=505\) in unserem Produkt, also ist das Ergebnis \((-1)^{505}=-1\).