Komplexe Fourier Koeffizienten.

Aufrufe: 937     Aktiv: 28.04.2020 um 15:12
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Hallo Allerseits, ich habe ein Problem mit den komplexen Fourier-Koeffizienten und hoffe jemand von Euch kann mir hier weiterhelfen.

Kurz die Vorgeschichte: bei der Durchsicht meiner alten Matheunterlagen bin ich über eine Formel zur Berechnung des Oberwellengehalts eines Signals mittels Integral und den komplexen Fourier-Koeffizienten gestolpert. Da sich mir die Formel nicht so recht erschließen wollte bin ich auf die Idee gekommen das mal mit \(sin(\omega t)\) durchzurechnen.  Da ist das mit den Oberwellen ja recht überschaubar:-) Trotzdem benötigt man (den) die komplexen Fourier-Koeffizienten. Also Formel geschnappt und losgerechnet.

\(c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\frac{2\pi}{T}t} dt\) mit \(\omega = \frac{2\pi}{T}\text{ und } T = \frac{2\pi}{\omega}\) losgelegt.

\(c_n = \frac{\omega}{2\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} sin(\omega t)e^{-in\omega t} dt\)

Nach zweimal partiell Integrieren und 3 Blätter später, Konsultation von wolframalpha, Integralrechner.de und meinem Casio komme ich auf folgendes Integral:

\(\frac{e^{-in\omega t}(cos(\omega t) + insin(\omega t))}{(n^2-1)\omega} +C\) Ich hoffe mal, dass bei so viel Absicherung das Ergebnis richtig ist.

Nun endlich kommt mein Problem: Ich benötige ja \(c_1\), also ist n = 1. Alle anderen Koeffizienten sollten ja 0 sein. Und da ist auch schon mein Problem - ich bekomme eine Division durch 0. Ist das unbestimmte Integral doch falsch? Muss ich da eine Grenzwertbetrachtung machen? Wenn ja, wie - da bin ich gar nicht fit.

 Nehme ich \(\omega = 1\) an und lasse wolframalpha oder meinen Casio das bestimmte Integral rechnen bekomme ich als Ergebnis \(\frac{1}{2\pi}*-i\pi = \frac{-i}{2}\) was dann den reellen Koeffizienten \(A_n = 2\vert c_n\vert = 1\) ergibt. \(c_2, c_3, c_4\) habe ich auch rechnen lassen - alles 0. Passt also auch.

Wo ist mein Fehler oder wie krieg ich die Division durch 0 weg?

 

Gruß jobe

 

 

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Hallo Zusammen, das unbestimmte Integral stimmt. Ich hab's heute mal differenziert - per Hand und mit wolframalpha. Es kommt die Ausgangsfunktion raus.

Hat keiner eine Idee! Hiiilfe!
Gruß jobe
   ─   jobe 27.04.2020 um 18:22
Muss denn \( c_1=-\frac{i}{2} \) rauskommen?   ─   smileyface 27.04.2020 um 19:24
Hallo smileyface, das behaupten jedenfalls einige Rechenmaschinen wenn man es als bestimmtes Integral rechnen lässt und wie ich angeführt habe passt das in jedem Fall mit dem reellen Koeffizienten \(A_1\). Ich tendiere wirklich zu einer Grenzwertbetrachtung. Bei ähnlichen Fällen wurde das vom Prof. mit l'Hospital gelöst. Zuvor hat man das Signal Laplace transformiert und dann hatte man "oben" und "unten" im Bruch die unabhängige Variable s und beim Einsetzen von n (meist auch bei n=1) eine Division 0 durch 0. Habe ich hier aber nicht. Mit Laplace habe ich es auch schon versucht und komme auch da auf die Division durch 0. Wobei ich mir nicht sicher bin wie das Signal zu beschreiben ist.
Den Prof kann ich nicht mehr fragen. Wenn Du Dir meine Vita anschaust kann es sein, dass der Prof – nicht mehr so fit ist.
Bin aber für jede Anregung / Anmerkung dankbar. Gruß jobe.
   ─   jobe 27.04.2020 um 20:29
l'Hospital wäre natürlich eine Möglichkeit.
Bei der Laplace Transformation wird, soweit ich weiß, in der Mathematik der Fall, dass der Nenner 0 wird ausgeschlossen.
Eventuell muss man den komplexen Koeffizienten für n=1 auf Grund dieser Tatsache gesondert betrachten/berechnen.

Ich werde mich mal schlau machen und meine Lektüre durchstöbern ob ich für diesen Fall etwas finde.
Tut mir leid, dass ich dir aktuell nicht wirklich weiterhelfen kann :/   ─   smileyface 27.04.2020 um 20:54
Hallo,
ich habe jetzt seit gestern auch etwas rumgerechnet und gerade ist mir aufgefallen, dass du die Grenzen des Integrals überhaupt nicht eingesetzt hast.
$$ c_n = \frac {\omega} {2\pi} \int\limits_0^{\frac {2\pi} {\omega}} \sin(\omega t) \cdot e^{-in\omega t} \, \mathrm{d}t = \frac {\omega} {2\pi} \cdot \frac {\cos(2\pi n) - i \sin(2 \pi n) -1 } {\omega (n^2 -1)} = \frac {1 - 0 - 1} {2 \pi (n^2 -1)} = 0 $$
Ich erhalte sofort für alle \( n \) das die Koeffizienten Null sind. Ist nicht wirklich ein besseres Ergebnis aber vielleicht habe ich mich irgendwo verrechnet. Auf jeden Fall hast du für \(n=1 \) eine Divison \( \frac 0 0 \). Aber l'hospital führt trotzdem dann zu \( c_1 = 0 \)
Ich gehe das ganze nochmal durch aber schon mal als Input. Vielleicht hilft es jemand anderen die endgültige Lösung zu erschließen :)
Grüße Christian   ─   christian_strack 28.04.2020 um 11:06
Hallo Christian, die Grenzen hatte ich schon eingesetzt und bin ebenso auf 0 / 0 gekommen. Interessant wird es wenn Du vor dem integrieren statt \(c_n\) gleich \(\omega = 1\text{ und } n = 1\) einsetzt. Dann wird das Integral einfacher. Es kommt z.B. bei wolframalpha auch das gesuchte Ergebnis raus. Das will ich heute oder morgen Abend mal durchrechnen. Muss jetzt noch ein paar Stunden Brötchen verdienen. Erklärt mir aber immer noch nicht wie man von der allgemeinen Formel \(c_n\) auf \(c_1\) kommt. P.S. die Antwort von smileyface muss ich mal mit Ihm diskutieren. Sieht schonmal gut aus. Gruß jobe.   ─   jobe 28.04.2020 um 13:31
Ach ja da habe ich deinen letzten Teil etwas fasch verstanden .. :/
Aber habs mal schnell durchgerechnet mit deiner Idee. Und wenn du vorher \( n= 1 \) setzt und dann integrierst erhälst du
$$ c_1 = - \frac i 2 = \frac 1 {2i} $$
Dabei kannst du \( \omega \) so lassen. Das kürzt sich nämlich raus :)   ─   christian_strack 28.04.2020 um 13:54
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Ich hab heute morgen mal etwas rumgerechnet und bin zum folgendem Ergebnis gekommen.

Der Ausdruck den du für die komplexen Fourierkoeffizienten erhalten hast ist korrekt. (Hattest du ja auch schon bestätigt)

Demnach lässt sich mit Hilfe dieses Ausdrucks eine Aussage über alle komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion \( \sin(\omega t) \) treffen bis auf die Koeffizienten für die der Ausdruck auf Grund der Division durch 0 nicht definiert ist. Also sind alle komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion \( \sin(\omega t) \) "0" außer \( c_1 \) und \( c_{-1} \).

Diese habe ich unabhängig berechnet und komme auf folgende Werte:

\( c_1=\frac{1}{2i} \) (hattest du ja auch schon berechnet)

\( c_{-1}=-\frac{1}{2i} \)

Dies müsste korrekt und lässt sich z.B. durch die Beziehungen zur Exponentialfunktion überprüfen, welche besagt: \( \sin(t)=\dfrac{e^{(1)\cdot it}-e^{(-1)\cdot it}}{2i} \)

Hier sieht man schön, dass sich die Funktion \( \sin(\omega t) \) nur aus den komplexen Fourierkoeffizienten \( c_1=\frac{1}{2i} \) und \( c_{-1}=-\frac{1}{2i} \) zusammensetzt.

(Ich habe hier nur den Fall \( \omega=1 \) betrachtet, um etwas Schreibarbeit zu sparen)

 

Ps.: Dies sind lediglich Schlussfolgerungen welche nicht 100%ig richtig sein müssen. Ich würde mich freuen, wenn wir die Lösung zusammen diskutieren könnten.

 

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Hallo smileyface, sieht sehr gut aus, bis auf die Vorzeichen bei \(c_1 \text{ und } c_{-1}\). Das haben die Rechenmaschinen andersrum gesehen. Aber die können ja auch nicht alles. Wie hast Du die beiden Koeffizienten dann berechnet? Ich habe die Idee \(\omega =1 \text{ und }n=1\) schon in das Ausgangsintegral einzusetzen. Erste Tests mit wolframalpha haben das erwünschte Ergebnis geliefert. Werde das mal heute oder morgen Abend durchrechnen. Muss, wie ich schon Christian geschrieben habe, tagsüber noch ein paar Brötchen verdienen.
Was war jetzt Deine Strategie? Wie hast Du \(c_1\) genau berechnet?
Eigentlich erwartet ich von der Mathematik, dass ich mit der allgemeinen Formel alle speziellen berechnen kann. Geht das hier nicht? Gruß und schonmal vielen Dank jobe.
Nachsatz: \(\omega = 1\) ist vollkommen ok. Eigentlich wollte ich ja eine Formel zur Bestimmung des Oberwellengehalts durchspielen und da ist es am einfachsten, wenn man gar keine hat ;-)
   ─   jobe 28.04.2020 um 13:44
Wir haben doch alle das gleiche Ergebnis für \( c_1 \). Es gilt doch: \( -\frac{i}{2}=\frac{1}{2i} \). Ich hatte für die Berechnung von \( c_1 \) und \( c_{-1} \) die oben gezeigte Beziehung zur Exponentialreihe ausgenutzt. Hierbei hat man einen sehr kurzen Rechenweg, da sich einiges weghebt.
Du hattest mich durch die Laplace-Transformation auf die Idee gebracht. Bei der Laplace Transformation muss man ja auch sicherstellen, dass man nicht durch 0 teilt (z.B. durch Einschränkungen wie: \( s\neq 2 \)). Hier ist es das gleiche, weswegen man mit dem Ausdruck für die eigentlich interessanten Koeffizienten keine Aussage treffen kann. Ich hatte mich dann dunkel an einen ähnlichen Fall aus Mathe für Ingenieure II erinnern können, wo ebenfalls so vorgegangen wurde.   ─   smileyface 28.04.2020 um 14:09
Uups, das mit -i und 1/i hab ich jetzt in der Hektik übersehen. Klar, da hast Du recht, ist dasselbe.
In diesem Fall bleibt mir nur Danke an alle zu sagen. Ich fürchte allerdings, dass das nicht das letzte Mal sein wird wo ich Hilfe benötige. Gruß jobe.   ─   jobe 28.04.2020 um 15:09
Gern. Ich hab auch zu danken. Durch die Frage habe ich auch einiges gelernt, was mir in Zukunft sicher mal von Nutzen sein wird :)   ─   smileyface 28.04.2020 um 15:12

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