Basis des Lösungsraums bestimmen

Aufrufe: 894     Aktiv: 16.05.2020 um 20:27
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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: 

\( \begin{pmatrix}1&-2&1&4&0&&0\\1&1&-2&1&2&&0\\1&4&-5&-2&1&&0\end{pmatrix} \)

Ich soll die Basis des Lösungsraums \(L = (A, 0) \subseteq Q^5\) bestimmen.

Hab die Matrix umgeformt zu: 

\( \begin{pmatrix}1&0&-1&2&0&&0\\0&1&-1&-1&0&&0\\0&0&0&0&1&&0\end{pmatrix} \)

\(x_5 = 0\\x_1 = x_3-2x_4\\x_2 = x_3 + x_4\)

Wären das dann die Vektoren, die die Basis bilden? 

\(x_5*(0, 0, 1)+x_2*(0,1,0)+x_1*(1, 0,0)\)

 

 

 

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Nein. Du setzt z.B. `x_3 = s` und `x_4 = t` und bekommst dann `x_2 = s+t` und `x_1 = s - 2t`.

Als Lösung erhältst du also insgesamt

`((x_1),(x_2),(x_3),(x_4),(x_5)) = ((s-2t),(s+t),(s),(t),(0)) = s((1),(1),(1),(0),(0)) + t((-2),(1),(0),(1),(0))`.

Die Basis des Lösungsraums besteht also aus den zwei Vektoren `((1),(1),(1),(0),(0))` und `((-2),(1),(0),(1),(0))`.

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Danke, aber wie kommst du auf die Vektoren von \(s\) und \(t\)?   ─   mathematikmachtspaß 16.05.2020 um 20:27

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