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Quadratische Funktion \(\to\) Scheitelpunktform
\( y = ax^{2}+bx+c \ \to Quadratische \ Ergänzung \to \ y=a(x-d)^{2}+e\)
Scheitelpunktform \(\to\) Quadratische Funktion
\(y=a(x-d)^{2}+e \to Ausmultiplizieren \to y=ax^{2}+bx+c\)
Quadratische Ergänzung:
1.) a ausklammern
\( -2x^{2}+10x+1500\)
\( -2(x^{2}-5x-750)\)
\( -2 = a\)
2.) p bestimmen (p wie bei der PQ-Formel)
Formel: \((\frac{p}{2})^{2} \)
\( (x^{2}-5x-750) \to \ (x^{2}+px+q)\)
\( p = -5\)
\((\frac{p}{2})^{2} = (\frac{-5}{2})^{2} = 6,25\)
3.) Binomische Formel umgekehrt anwenden: Faktorisieren
(p wird immer halbiert also geteilt durch 2 und q wird außerhalb der Klammer gelassen!)
\( (x^{2}-5x)-750=(x-\frac{5}{2} )^{2} -750\)
4.) Dann wird die berechnete Zahl aus Aufgabe 2 immer mit q subtrahiert!
\( (x-\frac{5}{2} )^{2} -750-6,25\)
\( (x-\frac{5}{2} )^{2} -756,25\)
\( (x-2,5 )^{2} -756,25\)
5.) Zum Schluss nicht vergessen, dass a=-2 ausgeklammert wurde und jetzt wieder reinmultipliziert wird! (Sie wurde nur wegen der Optik rausgelassen, ist aber bei jeder Aufgabe eigentlich dabei)
\( -2((x-2,5 )^{2} -756,25)\)
\( -2(x-2,5 )^{2} +1512,5\)
Die Quadratische Ergänzung ist damit vollzogen und wir können direkt den Scheitelpunkt ablesen:
(Nicht vergessen, der x-Wert wird immer vom Vorzeichen beim Ablesen umgekehrt!)
\(S(2,5|1512,5)\)
Zur Überprüfung kannst du die App: Geogebra Grafikrechner verwenden. Egal ob du die Quadratische Funktion oder die Scheitelpunktform eingibst, es kommt das gleiche raus als Grafik, damit hast du den Beweis das du richtig gerechnet hast. In der App kannst du übrigens auch Nullstellen, Scheitelpunkt und y-Achsenabschnitt direkt ablesen.
Ich wünsche dir viel Spaß und Erfolg mit dem Lernen, solltest du noch Fragen haben beantworte ich sie dir gerne.
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Mathe Versum
(Youtube-Kanal: Mathe Versum)
Student, Punkte: 105
Ich zeige bereits die kürzeste Rechnung, die Lehrer in der Schule zeigen eine noch längere Version^^ ─ matheversum 03.06.2020 um 21:36
Habt Ihr Ableitungen gemacht? Quadratische Ergänzung? Habt Ihr eine Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel? ─ digamma 16.05.2020 um 19:19