Vorzeichenwechselkriterium?

Aufrufe: 1568     Aktiv: 18.05.2020 um 12:01
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Hi:)

Wann darf man das Vorzeichenwechselkriterium benutzen? In der Schule haben wir zwar gelernt wie das funktioniert, aber jetzt frage ich mich wann man das überhaupt benutzen darf...

Also um zu überprüfen, ob es Extrempunkte wie Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte gibt, muss die erst Ableitung ja gleich Null gesetzt werden. Die zweite Ableitung soll dann je nachdem welchen Extrempunkt man sucht kleiner, größer oder gleich Null sein. 

Wenn ich nun allerdings in meiner Abiturklausur das Vorzeichenwechselkriterium statt z.B. die zweite Ableitung benutze, kriege ich dann dafür Punktabzüge? Ich bin mir nicht so sicher, ob das Vorgehen mit dem Vorzeichenwechselkriterium überhaupt Formal korrekt ist, aber wenn es das nicht sein sollte, wieso haben wir es dann überhaupt in der Schule gelernt...?

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Schüler, Punkte: 29

 
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Hi, 

die hinreichende und notwendige Bedingung würde ich in jedem Falle aufstellen, da dieser Aufwand auch nicht groß ist. Die "Nullsetzung" der ersten Ableitung ist auch erforderlich, da du ja einen genauen x-Wert berechnen willst. Mit dem VZW-Kriterium, würdest du dir also lediglich ersparen, den x-Wert in die 2. Ableitung einzusetzen. Ich hoffe ich konnte dir helfen. LG 

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Student, Punkte: 52

 
Ja danke auf jeden Fall! Nur eine kurze Frage dazu: was ist der Unterschied zwischen einer hinreichenden und einer notwendigen Bedingung?   ─   lucia.2020 17.05.2020 um 21:52
Die notwendige Bedingung liefert dir zuerst einmal Stellen an der Funktion die „verdächtig“ sind eine Extremstelle zu sein.
Mit der hinreichenden Bedingung überprüfst du dann ob es sich bei den „verdächtigen“ Stellen um Hoch- oder Tiefpunkte oder einen Sattelpunkt handelt.   ─   alexs2707 17.05.2020 um 22:25
Ach super danke! So anschaulich hat mein Lehrer mir das nie erklärt:)   ─   lucia.2020 18.05.2020 um 11:59

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Das Vorzeichenwechselkriterium ist auf jeden Fall korrekt. Es ist oft umständlicher anzuwenden als das Kriterium mit der 2. Ableitung. Dafür funktioniert es aber auch dann, wenn das Kriterium der 2. Ableitung nicht funktioniert. Zum Beispiel bei der Funktion `f(x) = x^4`. Da ist `f'(0)=0` und `f''(0) = 0`. Deswegen hilft einem das Kriterium der 2. Ableitung nichts. Die erste Ableitung ist aber `f'(x) = 4x^3` und diese Funktion hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Daraus folgt, dass die Funktion `f` bei 0 ein lokales Minimum hat.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Ahh alles klar:) Mein Lehrer hat auch mal davon gesprochen, dass es mal im Abitur eine Aufgabe gab, die man ohne das Vorzeichenwechselkriterium nicht berechnen konnte und ich habe mich immer gefragt was das war... Jetzt ist es mir klar. Vielen Dank!   ─   lucia.2020 18.05.2020 um 12:01

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