Wir betrachten den metrischen Raum \( ( \mathbb{R}, \vert \cdot \vert ) \).
Das Intervall \( [0, \infty) \) ist eine abgeschlossene Menge und der Rand \( \{0\} \) ist kompakt. Aber \([0,\infty) \) ist nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( [0, \infty) \subset \cup_{n=0}^{\infty} B_{\frac{2}{3}}(n) \) hat keine endliche Teilüberdeckung (schon nach Entfernen einer einzigen Menge, wäre es keine Überdeckung mehr).
Student, Punkte: 7.02K
Man hätte aber auch eine andere Überdeckung nehmen können. Jede Überdeckung mit beschränkten Mengen würde hier funktionieren. ─ 42 18.05.2020 um 22:19