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Zu 1.1) Die Erlösfunktion ist linear mit Verkaufspreis 82 GE/ME, sie lautet also \( E(x) = 82x \). Nun ist Gewinn = Erlös - Kosten, also gilt \( G(x) = E(x) - K(x) = 82x - (x^3 - 3x^2 + 4x +80) = 82x - x^3 + 3x^2 - 4x - 80 = -x^3 + 3x^2 + 78x - 80 \).
Zu 1.2) Der Kostenanstieg wird durch die Ableitung \( K^{\prime}(x)=3x^2-6x+4\) ausgedrückt. Wir suchen den geringsten Anstieg, also ein Minimum der Funktion \( K^{\prime} \). Dazu setzen wir die erste Ableitung von \(K^{\prime}\) gleich Null, also \( K^{\prime \prime}(x)=6x-6 = 0 \) und erhalten \(x=1\) als kritische Stelle für ein Extremum. Nun betrachten wir die zweite Ableitung von \(K^{\prime}\). Es gilt \(K^{\prime \prime \prime}(x)=6 \) und somit \(K^{\prime \prime \prime}(1)=6 > 0 \), also liegt an der Stelle \(x=1\) tatsächlich ein Minimum von \(K^{\prime}\) vor. Der Kostenanstieg ist somit bei 1 ME am geringsten.
Zu 1.3) Hier müssen wir zunächst die Nullstellen von \(G\) bestimmen. Da es sich hier um ein Polynom 3. Grades handelt, ist die Berechnung per Hand etwas umständlich. Man kann zunächst (mehr oder weniger) leicht sehen, dass bei \(x=1\) eine Nullstelle vorliegt, denn \(G(1) = -1^3+3 \cdot 1^2 + 78 \cdot 1 - 80 = 0 \). Nun kann man beispielsweise eine Polynomdivision durchführen und erhält \(G(x)=(x-1)(-x^2+2x+80)\). Die weiteren Nullstellen sind dann genau die Nullstellen von \( -x^2+2x+80 \). Hier erhält man beispielsweise mit der abc-Formel die Nullstellen \( x = -8 \) und \( x = 10 \). Im Sachzusammenhang (\(x \ge 0\)) kommen somit (wegen der Stetigkeit von \(G\)) die Intervalle \( [0,1]\), \([1,10]\) und \([10, \infty)\) als Gewinnzone infrage. Wir prüfen nun, in welchen Intervallen tatsächlich Gewinne erwirtschaftet werden (also wo \(G\) nicht-negative Werte annimmt). Wegen \(G(0,5) = -40,375 < 0 \) und \(G(11)=-190<0\) scheiden die Intervalle \([0,1]\) und \([10, \infty)\) als Gewinnzone aus und wegen \(G(2) = 80 > 0 \) liegt die Gewinnzone somit bei \([1,10]\).
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