Familie auf lineare Abhängigkeit prüfen

Aufrufe: 1221     Aktiv: 22.05.2020 um 17:03
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Hallo Leute, 

in dieser Aufgabe gibt es mehre

 

Matritzen. Jemand einen Ansatz, wie ich herangehen soll an die Aufgabe?

LG, kamil

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Student, Punkte: 370

 
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wegen R^(2x2) isomorph R^4 kannst du die matrizen als vektoren des R^4 betrachten (nur dass die einträge 'komisch' angeordnet worden) wie würdest du vorgehen, lineare abhängigkeit von vektoren des R^4 zu überprüfen? 

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Student, Punkte: 2.33K

 
Wie meinst du das? Steht die 4 im R^4 für die Spalten- oder Zeilenanzahl?

Ich würde es dann aber in ein LGS umwandeln und 0 setzen   ─   kamil 20.05.2020 um 17:02
die 4 steht für 2+2, du kannst die matrix ja als R^4 vektor umschreiben, indem du die spalten untereinander schreibst.
wenn du das bei all den 3 matrizen genauso umschreibst, gilt, dass die 3 entstehenden R^4 vektoren genau dann lin abh sind wenn die 3 matrizen lin abh sind und wenn es faktoren a,b,c gibt, sodass die vektoren mal diese vorfaktoren 0 ergeben , ist für die gleichen faktoren die lin komb der matrizen 0 und umgekehrt   ─   b_schaub 20.05.2020 um 17:04
Geht das nur bei bestimmten Matritzen? Ich habe so eine gleiche Aufgabe oben gepostet, die Matritzen sind anders. Ich komme auf den 0 Vektor als Lösung, stimmt aber irgendwie nicht?

Edit: Wollte nicht die Antwort markieren lol, wäre dankbar nochmal für eine Antwort   ─   kamil 21.05.2020 um 04:52
ne das geht für alle matrizen. wenn du den vektorraum von matrizen betrachtest, musst du die matrizen viel mehr als vektoren als als abbildungen betrachten. wenn man an vektoren denkt hat man vielleicht erstmal pfiele und irgendwelche R^n im kopf, dabei ist ein vektor einfach nur ein element oder ein punkt im vektorraum. hier ist also die matrix nur ein vektor, deswegen gelten für die lin komb genau die gleichen rechenregeln wie für alle anderen vektorräume. der gedanke mit dem kern der abbildung läuft bei 2x2 matrizen halt entweder über die darstellungsmatrix mit isom von R^4 (so wie ich das vorhin gesagt hab) oder gleichwertig ist der gedanke, die spalten deiner matrix, für die du den kern berechnen willst, einfach durch matrizen anstelle von 'echten' spalten zu denken   ─   b_schaub 21.05.2020 um 05:44
Ich habe meine Rechnung gepostet. Das geht irgendwie überhaupt nicht. Wieso kann ich nicht gaußen   ─   kamil 21.05.2020 um 11:50
Dein Ansatz ist richtig, du hast es dann aber völlig falsch in Matrixschreibweise überführt. Schau dir das Konzept nochmal genau an, da besteht bei dir noch ein grundsätzliches Verständnisproblem davon, was die Matrixdarstellung überhaupt bedeutet.   ─   liebero3 21.05.2020 um 12:00
-   ─   kamil 21.05.2020 um 12:12
Nach kurzem googlen keins gefunden, welches exakt das Problem anspricht.

Bei deinem oben geposteten Lösungsversuch ist der Ansatz ja richtig.

Das in Matrixschreibweise wäre dann:

\(\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\)

Du hast doch sicherlich ein script zur Vorlesung? Ansonsten fand ich damals den Beutelspacher sehr verständlich als Studienanfänger   ─   liebero3 21.05.2020 um 12:43
Wenn ich dann aber jeweils die Matrixspalten mal die Koeffizienten nehme, komme ich auf den gleichen Ausdruck, den ich hatte, was habe ich jetzt falsch gemacht? Ich kann das dennoch nicht gaußen 😩   ─   kamil 21.05.2020 um 13:10
Ich hab deine Lösung nicht richtig erkannt, ja.

Bei mir kommt mit Gauß dann \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} raus.

Das bedeutet dann (in Prosa und ohne Fachsprache), du nimmst die Matrix A genau so oft wie die Matrix B und ziehst davon doppelt so oft C ab. Dann erhälst du den Nullvektor.   ─   liebero3 21.05.2020 um 13:27
tatsächlich scheinst du die spalten doch richtig untereinander geschrieben zu haben (auch wenn dass nicht so offensichtlich war)
okay, die beiden 0 zeilen kann man weglassen, das kann man machen
wieso schreibst du aber alpha, beta, gamma immer mit dazu? wenn du den kern herausfinden willst, brauchst du die variablen doch gar nicht.
vom zweiten zum dritten schritt ist dir übrigens ein fehler unterlaufen (eigentlich hätte im dritten schritt die matrix wieder so wie im ersten schritt aussehen müssen)
aber wieso meintest du, dass du ab einem gewissen schritt nicht mehr gaußen kannst?

meine lösung sähe genauso aus wie die von libero3. übrigens kann man die lösung auch tatsächlich schon ganz direkt ohne rechnung sehen wenn man ein bisschen übung mit sowas hat - das ist der punkt zu dem man in der Lin algebra kommen sollte

am besten schau dir nochmal an wie der algo funktioniert, der dich zum kern führt - oder stell fragen dazu :)   ─   b_schaub 21.05.2020 um 13:33
Ich stimme aufjedebewertungienschnaps (sehr sympatischer name ;)) zu.

Ich denke, dass du noch ein paar grundsätzlich Verständnisprobleme hast. Schau dir dringend nochmal die Unterlagen zum Gaußalgorithmus an.   ─   liebero3 21.05.2020 um 13:39
Ich habe gerade das Gleichungssystem in 5 Onlinerechner gehauen,allle spucken die Lösung 0,0,0 raus.

Meinst du als zweiten Schritt die Matrix nach dem zweiten Pfeil? Da habe ich:
0 - 2b - c
+ + +
-2a 0. -c
________________
-2a - 2b +0 (Das Ergebnis von Erster Zeiler + Zweite Zeile)


Ich sehe da keinen Bedarf, dass diese wie die erste Matrix aussehen soll.
Also wenn oline Rechner die falsche Loösung ausspucken, habe ich keine Ahnung wie ich das machen soll, Ich verstehe nicht mal die Lösung von diesen Rechnern ganz. Oben ein Bild, wieso ist das falsch? Ich hasse LA einfach 😣

   ─   kamil 21.05.2020 um 20:37
Edit: Stimmt: Die Alphas, Betas, und Gamas schreibe ich hin, weil ich es ausmultipliziere, es sind dann LGS. Eigentlich sollte ich die Matrixstriche weglassen dann, stimmt

Und ich glaube, man kann hier nicht mehr gaussen, also man kriegt keine 0 mehr, weil die Matrix nicht symmetrisch ist? Also wie löse ich das   ─   kamil 21.05.2020 um 20:43
stimmt das war quatsch, vom zweiten zum dritten schritt ist kein fehler, hatte mich da verlesen.
ich empfehl dir trotzdem die variablen wegzulassen. die matrizenschreibweise macht das ausrechnen von kern etc eigentlich leichter bzw weniger schreibaufwendig.
ich glaub du hast dir da aber einen ziemlich gammeligen rechner rausgesucht, ehrlich gesagt finde ich die rechenschritte von dem mathepower ding auch ganz schön komisch.
zb ist a=1, b=1, c=-2 im kern enthalten.
wenn du deine lösung überprüfen willst, verwende am besten immer nur entweder wolframalpha oder matlab.
du kannst jede matrix gaußen, egal ob irgendwelche symmetrien erfüllt sind.
wenn du mehr gefühl für solche LA sachen bekommen willst, schau dir mal die vorlesungen von gilbert strang zu dem thema an - was die anfänge von LA angeht, kann das denke ich niemand besser erklären als er.
aber gib nicht auf und versuch dich einfach aufs fach drauf einzulassen. wenn man irgendwann ein gefühl für die sachen entwickelt, wird plötzlich alles super interessant in dem fach :)

aber danke liebero3 haha so richtig abschießen kann ich mich bei meinen 7 bewertungen ja noch nich   ─   b_schaub 21.05.2020 um 21:29
Aber das Gaußverfahren ist für 0 unter der Diagonale von Nutzen. In dieser Matrix ist schon eine 0 in der Ecke unten links. Mehr geht gar nicht.

Danke für die motivierenden Worte 😁   ─   kamil 21.05.2020 um 22:37
wenn man strikt mit dem gauß verfahren den kern bestimmen will, ist man an dem punkt noch nicht fertig
stattdessen muss man noch die diagonalelemente auf 1 skalieren (also obere zeile durch 2 und untere zeile durch -2 teilen)
dann muss man noch gauß rückwärts anwenden. dann erhält man insgesamt das lgs
[ 1 0 1/2]
[ 0 1 1/2] (das ist die matrix, nach vorwärts und rückwärts algo)

dann ist der kern gegeben durch span{ (1/2, 1/2, -1) } (um sich das deutlich zu machen, kann man das ganze an dem punkt eventuell wirklich wieder als gleichungssystem schreiben)
wie gesagt, auch wenn gilbert strang nur eine ingenieurs vorlesung macht, hilft das ungemein dabei, mit solchen rechnungen viel intuitiver umzugehen   ─   b_schaub 21.05.2020 um 22:51
Ah, jetzt macht es Klick. Man kann ja auch die erste Gleichund einfach Auflösen, Also a-b=0 => a=b

In diesem Fall geht das ja. Aber was wäre bei 5a=7b z.B? Dann wäre einfach a=7 und b=5?   ─   kamil 21.05.2020 um 23:13
ja genau :) auch wenn natürlich jedes skalare vielfache auch noch lösung davon ist   ─   b_schaub 21.05.2020 um 23:19
Ich kann nicht mehr 😀😂😂 ich gucke mir 100 Videos über Gauß, wie ich weiter gaußen soll, damit ich eine Unbekannte habe. Und dabei muss x-y=0 lösen. Ich sollte mein Studium schmeißen... : D

Soll ich dich bewerten? Irgendwelche Wünsche?   ─   kamil 21.05.2020 um 23:31
ja am liebsten eine schöne kurze dankesrede an mich und den weihnachtsmann
aber wenn du jetzt dein studium schmeißt werd ich wütend haha   ─   b_schaub 21.05.2020 um 23:45
@aufjedebewertungeinschnaps: Das wird schon noch;)

@kamil: Ja, das meinte, als ich sagte, dass du da Probleme mit den Grundlagen hast. Aber super, dass es jetzt funktioniert. Mein Studium ist schon ein Weilchen her, aber diese Schwierigkeiten am Anfang sind relativ normal. Du musst dich da einfach dran setzen und nicht aufgeben. Das ist ohnehin eine der wichtigsten Eigenschaften, für die Mathematiker am Ende ihres Studiums von der Wirtschaft geliebt werden: Sie haben gezeigt, dass sie sich einem Problem widmen können und es so lange beackern, bis sie es gelöst haben.   ─   liebero3 22.05.2020 um 10:42
@libero: also, gaußen kann man nur bis unter der Diagonalen über all Nullen stehen. Die Diagonale geht immer vom ersten Element ganz links schräg runter?

Ich studiere Maschinenbau. Werden die Lineare Algebra echt so viel brauchen..? Dann nichts wie hin, ich beschäftige mich damit :D   ─   kamil 22.05.2020 um 17:03

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