Hallo, ein Span musst du dir so vorstellen: Ein Vektor spannt eine Gerade auf, zwei Vektoren die in unterschiedliche Richtungen zeigen (linear unabhängig) spannen eine Ebene auf und drei lienar unabhängige Vektoren spannen einen ganzen Raum auf.
Die Basis eines Erzeugendensystems sind nun linear unabhängige Vektoren, die den Raum/Ebene/Gerade aufspannen.
Nun bestimmen wir:
\(\rm{Span}(p,q,r)=\rm{Span}\left(\begin{pmatrix}-6\\-2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}\right)\)
solange die drei Polynome linear unabhängig sind, spannen sie den ganzen \(\mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c|a,b,c\in\mathbb{R}\}\) auf.
Wenn sie zwei Polynome linear abhängig wären, würden nur die Linearkombinationen der linear unabhängigen Polynome aufgespannt werden.
Falls \(\mathcal{P}_2\) aufgespannt wird kannst du einfach die Standardbasis verwenden: \(\{e_1,e_2,e_3\}=\{x^2,x,1\}\).
Die Dimension gibt einfach die Anzahl der Elemente in einer Basis an.
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