Es gilt \( f^{\prime}(x_0) = \lim_{y \to x_0} \frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0} \). Das heißt, es gibt ein \(\delta > 0\), sodass \( \vert \frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0} - f^{\prime}(x_0) \vert < 1 \) für alle \(y \in B_{\delta}(x_0) \) ist.

Wir definieren nun die Funktion \(g(x)=f(x)-f^{\prime}(x_0)x \). Es gilt

\( \vert g(y) - g(x_0) \vert = \vert f(y)-f^{\prime}(x_0)y - (f(x_0) - f^{\prime}(x_0)x_0) \vert = \vert y - x_0 \vert \vert \frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}-f^{\prime}(x_0) \vert < \vert y - x_0 \vert \) für alle \(y \in B_{\delta}(x_0)\).

Die Funktion \(g\) ist also lokal lipschitzstetig in \(x_0\) und somit insbesondere stetig in \(x_0\).

Die lineare Funktion \(h(x)=f^{\prime}(x_0)x \) ist ebenfalls stetig in \(x_0\).

Somit ist auch die Summe \( f(x)=g(x)+h(x) \) stetig in \(x_0\).