die frage ist auf jeden fall berechtigt

du willst ja zeigen, dass die schnittmenge nicht-leer ist. dafür müssen wir die existenz eines elements nachweisen, das in der schnittmenge liegt. 

deine kontrapositionsidee funktioniert insofern nicht, dass das nicht der einzige fall ist, in dem in der schnittmenge kein element liegen muss. bspw könnten die mengen ja auch einfach nicht kompakt sein oder die mengen könnte nicht immer echte teilmengen sein - vielleicht liegt dann ja auch nicht mehr unbedingt ein element im schnitt. 
wenn du den kontrapositionsbeweis machen würdest, müsstest du also mehrere sachen zum widerspruch führen, wobei das mit dem nicht-leer wohl noch der einfachste der fälle wäre.

aber deine grundsätzliche intuition ist ja schon richtig. versuch mal eine folge a_n zu bauen bei der die jeweiligen folgenglieder in A_n liegen - wir wissen ja, dass in A_n immer mind ein element gibt, also ist die folge wohldefiniert. probier den rest mal selbst :)