Differentialgleichung alternativer Ansatz

Aufrufe: 49     Aktiv: vor 5 Tage, 2 Stunden

0

Gegeben sei dgl der Form:

X°°+2alpha*X°+omega^2*X=0

Wobei °die erste ableitung von X nach t bezeichnet.

Statt dem standardansatz x=Ae^(st) soll der santz x=A*t*e^(st) verwendet werden. Wenn ich hierzu die charakteristische gleichung aufstellen bekomme ich aber ein Polynom was noch zusätzlich den Faktor t enthält. Wie geht man damit um? Die Aufgabe ist eigentlich herauszufinden für welches alpha und omega dieser Ansatz zur Lösung führt. 

 

gefragt vor 5 Tage, 9 Stunden
X
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
3 Antworten
0

Der Ansatz führt genau dann zum Ziel, wenn \(s\) eine doppelte (reelle) Nullstelle des char. Polynoms ist, also von \( u^2+2\,\lambda \,u + \omega^2 \)..

geantwortet vor 5 Tage, 9 Stunden
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 90
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Das sieht aus wie die Gleichung einer gedämpften Schwingung. Da hängt die Lösung vom Größenverhältnis zwischen alpha und omega ab. Es gibt Schwinfall, aperiodischen Grenzfall und Kriechfall. Suche Artikel im Netz oder in meinem Buch "Grundzüge der Physik", wo das ausführlich diskutiert wird.

geantwortet vor 5 Tage, 7 Stunden
p
professorrs verified
Lehrer/Professor, Punkte: 960
 

Ich habe noch einmal die Gleichung betrachtet. Der vorgeschlagene Ansatz entspricht einer Doppelwurzel für lambda, das ist der aperiodische Grenzfall!   -   professorrs, verified vor 5 Tage, 2 Stunden
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Du bekommst eine Gleichung, die für jede Wahl von t gleich 0 sein muss. Das heißt, sowohl der Konstante Term als auch der Koeffizient vor dem t müssen 0 sein. Du bekommst also nicht eine, sondern zwei Gleichungen.

geantwortet vor 5 Tage, 3 Stunden
d
digamma verified
Lehrer/Professor, Punkte: 5.42K
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden