Es gilt
\( \lim_{h \to 0} \frac{(x-1)^2 - (x+h-1)^2}{h} = \lim_{h \to 0} -2(x-1)-h = -2(x-1) \)
und
\( \lim_{h \to 0} (x+h-1)^2 \cdot (x-1)^2 = (x-1)^2 \cdot (x-1)^2 = (x-1)^4 \)
Damit erhalten wir nun
\( \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} \) \(= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ (x+h-1)^2 } - \frac{1}{ (x-1)^2 } }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ (x-1)^2 - (x+h-1)^2 }{h} \cdot \frac{1}{ (x+h-1)^2 \cdot (x-1)^2 } \) \( = \lim_{h \to 0} ( \frac{ (x-1)^2 - (x+h-1)^2 }{h} ) \cdot \frac{1}{ \lim_{h \to 0} ( (x+h-1)^2 \cdot (x-1)^2 ) } \) \( = -2(x-1) \cdot \frac{1}{ (x-1)^4 } \) \( = \frac{-2}{ (x-1)^3 } \)
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mir leuchtet nicht ganz ein wie du vorgegangen bist... ─ lelchik 25.05.2020 um 18:25