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Unter Verwendung der geometrischen Summe \( \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n -1 \) erhält man für \(n \ge 5\) folgende Abschätzung
\( 1 + \sum_{k=1}^n k^k \) \( = n^n + 33 + \sum_{k=4}^{n-1} k^k \) \( > n^n + 33 + \sum_{k=4}^{n-1} 2^k \) \(= n^n + 18 + \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \) \( = n^n + 18 + 2^n-1 \) \( > n^n + 2^n - 1 \)
Die Ungleichung gilt also für alle \(n \ge 5\).
Die Fälle \(n=1,2,3,4\) kannst du dir dann selbst überlegen.
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