Finden von einem Fehler in meinem Lösungsweg

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Hallo ich bin in Klasse 10 einer Gesamtschule und da wir gerade keinen Unterricht haben wollte ich mal probieren ein paar Wettbewerbsprobleme auf meinem Level zu lösen. Allerdings habe ich diese Aufgabe versucht und mein Lösungsweg hat zu einem falschen Ergebnis geführt. Kann mir bitte jemand erklären warum?

Aufgabe 141013: https://www.olympiade-mathematik.de/pdf/block_al/14101_al.pdf

In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem seien die Punkte A(− 1/2 ; 0) und B( 1/2 ; 0) gegeben.

a) Beweisen Sie, daß es möglich ist, die Koordinaten von vier Punkten Pi (i = 1, 2, 3, 4) so anzugeben, daß für die Menge dieser vier Punkte die folgenden Bedingungen erfüllt sind!

(1) Die Längen aller Strecken APi und BPi sind ganzzahlig.

(2) Es gibt keine Gerade, auf der drei der Punkte Pi liegen.

b) Beweisen Sie, daß es keine Menge aus mehr als vier Punkten Pi mit den Eigenschaften (1) und (2) gibt!

Mein Versuch:

(1)    Zwei Punkte auf der X-Achse, die ganzzahlig von einem der beiden Punkte (A,B)  entfernt sind, da die Punkte A und B ganzzahlig von einander entfernt sind. Als Beispiel P1(-1,5 ; 0) und P2(1,5 ; 0).

    Zwei Punkte auf der Y-Achse, die die Eigenschaft \( \sqrt{(1/2)^2+y^2} \) = Ganzzahl erfüllen, da die Distanz ja mit dem Satz Pythagoras beschreiben lässt, wo x=a und y=b und c die Distanz ist. Ich nehme die Punkte P3(0;\( \sqrt{3} \)/2) und P4(0;-\( \sqrt{3} \)/2)

(2) Die Regel 2 bedeutet ungefähr das von den 4 Punkten immer nur 2 eine bestimmte x oder y Koordinate Teilen dürfen, da die X-Achse (y:0) und Y-Achse (x:0) jeweils schon 2 Punkte haben, müsste der 5 Punkt auf keiner der Achsen liegen. Unser P5 hat die Form P5(1/2+x ; y). Das heißt \( \sqrt{x^2+y^2} \) = Ganzzahl und \( \sqrt{(x+1)^2+y^2} \) = Ganzzahl. x ist hierbei die Distanz zwischen der X-Koordinate unsere Koordinate P5 und einen Punkt A oder B, während x+1 die Distanz zwischen dem anderen Punkt ist. Also muss x^2+y^2 = Quadratzahl (m) und x^2+y^2+2x+1 muss auch gleich einer Quadratzahl (n) sein. Anwendung vom Additionserfahren erhalten wir 2x+1=n-m. Nach dieser Logik müsste wenn wir für n=9 (3^2) und für m=4 (2^2) einsetzen, x=1 sein und da 1 +y^2 = 4 ->y^2=3 Dann müsste 1^2+3=4 und 1+1^2+3= eine andere Quadratzahl ergeben, aber 5 ist keine Quadratzahl. Ich finde den Fehler in meiner Rechnung nicht. Kann mir jemand bitte erklären was ich falsch gemacht habe und wie man diese Aufgabe eigentlich löst? Auf der Website ist keine Lösung zu dieser Aufgabe

 

gefragt vor 5 Tage, 2 Stunden
s
shinyskylp,
Punkte: 31
 
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1 Antwort
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wenn ich das richtig verstanden habe, bist du für (2) davon ausgeangen, dass die ersten vier punkte so gewählt sind, wie dein vorschlag war. das wäre dann ja kein allgemeiner beweis (korrigier mich wenn ich das falsch verstanden habe)

trotzdem würde ich vorschlagen du versuchst einen anderen blickwinkel auf die aufgabe zu bekommen.
stell dir zunächst mal die ebene R^2 vor, in der ja A und B liegen.
damit die 4 punkte jeweils ganzzahligen abstand zu A und B haben, müssen sie ja auf ringen um A und B liegen, die jeweils ganzzahlige entfernung von A bzw B haben.
vielleicht versuchst du dir das mal aufzumalen.
die ringe um A und B haben dann schnittpunkte. alle 4 punkte müssen auf schnittpunkten dieser ringe liegen (da sie ja ganzzahligen abstand zu beiden punkten haben sollen)
erkennst du ein muster in der anordnung der schnittpunkte? 

geantwortet vor 5 Tage, 2 Stunden
a
aufjedebewertungeinschnaps
Student, Punkte: 1.05K
 

Das mit den Ringen mit ganzzahligen Abstand ist ja mal voll die schlaue Idee :D Wie kann ich denn daraus den von oben genannten "allgemeinen Beweis" machen? Das hatten wir noch nie im Unterricht   -   shinyskylp, vor 4 Tage, 9 Stunden

danke haha wenn man jeden tag als aufgabe hat, irgendwelche ideen zu finden, fällt einem sowas halt natürlich irgendwann leichter.
hätte mich auch gewundert, wenn ihr sowas schon mal im unterricht gehabt hättet
hast du dir schon gedanken dazu gemacht wo die schnittpunkte liegen? wenn ja kannst du auch irgendwie beweisen, dass das tatsächlich schnittpunkte sind und dass es keine anderen gibt?
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 4 Tage, 9 Stunden

Ich hab leider noch immer ein Problem. Ich habe ein Planbild erstellt (https://imgur.com/a/VYxOfOu). Stell dir vor es gäbe unendlich viele von diesen Ringen und eine Strecke zwischen A und B. Ein Ring der A oder B umgibt hat den Radius einer geraden Zahl. Das bedeutet Jeder Punkt auf einem Kreis ist gradzahlig von den Punkt den der Kreis als Mittelpunkt hat entfernt ist. Das bedeutet die Schnittpunkte von 2 Kreisen sind gradzahlig. Es gibt zwei Situationen zu betrachten, 1. Der Schnittpunkt ist bei zwei gleichgroßen Kreisen, dann liegt der Schnittpunkt auf der Mitte zwischen der Strecke von A und B aufgrund der Symetrie der gleichgroßen Kreise. Bei unterschiedlich großen Kreisen wo ein Kreis einen Radius von dem anderen Radius + 1 hat. Da die beiden Kreisen 1 entfernt ist gleicht sich das an einen der Punkte auf der höhe des Mittelpunkts auß. Mit diesen 2 Situationen kann man ja nur 4 Punkte bestimmen, weil die Punkte je einer Situation auf einer geraden liegen. Ich weiß ja wie ich beweisen kann das es diese Situationen gibt, aber wie kann ich beweisen das es KEINE 3 Situation gibt. Ich habe dran gedachte das der größere Kreis ja "steiler" als der kleinere ist und sie sich deswegen nur beim Nullpunkt treffen können, aber reicht das für ein "allgemeinen Beweis" aus?   -   shinyskylp, vor 4 Tage, 6 Stunden

okay das bild sieht schon mal gut aus, zeigt also dass du die idee verstanden hast. (kleine anmerkung: statt geradzahlig schreib lieber ganzzahlig, weil man sonst denken könnte dass du von gerade zahlen sprichst)
jetzt geht es also darum zu zeigen, dass es keine anderen außer den vier schnittpunkten auf x und y achse pro kreis gibt.
überlege dir mal folgendes:
angenommen ein kreis um A mit radius r schneidet einen kreis um B
welchen radius kann der kreis um B haben?

ang der kreis um B hätte radius r-2, dann wäre ja rein anschaulich (weil der kreis um A ja nur 1 schritt von dem um B entfernt ist, formal würde hier dreiecksungleichung helfen falls dir das was sagt) ganz im Kreis um A enthalten und hätte keine möglichkeit den kreis um A zu schneiden

ang der kreis um B hätte radius r+2 dann wäre das ja der gleiche fall wie vorher wegen symmetrie

für radien die noch kleiner als r-2 bzw noch größer als r+2 sind, ist dann klar, dass es damit auch keinen schnittpkt haben kann. dementsprechend gibt es nur die fälle bei denen der kreis um B radius r-1, r, oder r+1 hat
für diese fälle müsste man sich jetzt noch in analoger weise überlegen, wieso es nicht mehr schnittpunkte geben kann als die, die du schon gefunden hast (ich denke man kann hier auch nur rein anschaulich argumentieren also ohne formeln etc., normal hat man dafür nicht unbedingt die mittel in der zehnten klasse glaube ich)
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 3 Tage, 9 Stunden
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