Deine Ergebnisse sind an sich richtig auch wenn die Beweisführung nicht so schön ist. Insbesonder scheinst du bei 1 und 2 jeweils nur die ersten Werte zu betrachten. Auch dein Grenzwert ist richtig, aber wie kommst du von der ersten Zeile in die zweite bei der rekursiven Def:?

Dein Beweis ist so nicht richtig.

Der Beweis zur Beschränktheit ist kein Beweis. Du hast dort nichts Allgemeines gezeigt und mal davon abgesehen, hast du auch einfach falsche Abschätzungen gemacht. Es ist zum Beispiel nicht \( a_1 + \frac{1}{4} < \frac{1}{4} \).

Die Abschätzung ist eigentlich ganz einfach. Es gilt \(a_1 = 0,25 < 0,5 \) und induktiv erhalten wir \( a_{n+1} = a_n^2 + 0,25 < 0,5^2 + 0,25 = 0,5 \).

Die Abschätzung zur Monotonie kannst du so auch nicht machen. Es gilt nicht \( \frac{1}{2} < ( \frac{1}{4} )^2 + \frac{1}{4} \). Und auch andere Abschätzungen sind eher fragwürdig. Du solltest dir unbedingt noch mal klarmachen, wie man mit Ungleichungen umgeht.

Schau dir zur Monotonie lieber die Funktion \( f(x) = x^2 - x + 0,25 \) an. Es gilt \( f^{\prime}(x) = 2x - 1 \le 0 \) für \( x \le 0,5\), also ist \(f\) für \(x \le 0,5\) monoton fallend und außerdem \( f(0,5)=0\). Somit gilt \(f(x) \ge 0\) bzw. \( x^2 + 0,25 \ge x \) für \(x \le 0,5\). Insbesondere ist also \( a_{n+1} = a_n^2 + 0,25 \ge a_n \).

Deine weitere Vorgehensweise ist sehr kompliziert. Man könnte nun aus der Rekursion einfach \( 0 = \lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} a_n^2 - a_{n+1} + 0,25 = a^2 - a +0,25 \) und somit \( a = 0,5 \) folgern. Deine Vorgehensweise ist von der Idee her aber auch richtig. Allerdings hast du einen Fehler gemacht und du erhälst hier nur durch Zufall die richtige Lösung durch einen falschen Rechenweg. Zunächst gilt nämlich nur \( \lim_{n \to \infty} a_n^2 + \frac{1}{4} + a_n^2 + \frac{1}{4} = 2a^2 + \frac{1}{2} \) und nicht \( = a + \frac{1}{2} \).