Bis zum Induktionsschritt sieht alles richtig aus. Ab dann müsste es so gehen: \( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k\left( k+1\right) } = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\left( k+1\right) } + \frac{1}{\left( n+1\right) \left( \left(n+1\right) +1\right)} = 1 - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{\left( n+1\right) \left( \left(n+1\right) +1\right)}\) \( = 1- \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{\left( n+1\right) \left( \left(n+1\right) +1\right)} \right) = 1- \left( \frac{ \left( n+2\right) - 1 }{\left( n+1\right) \left( \left(n+1\right) +1\right)} \right) = 1 - \left( \frac{ n+1}{\left( n+1\right) \left( n+2\right)} \right) = 1- \frac{1}{n+2} \) was zu beweisen war.

Vorab: deine Induktionshypothese ist ist falsch formuliert. Es heißt:

Für ein beliebiges aber festes n gelte die Behauptung.

Zu deinem Induktionsschritt:

Am Ende sollte eigentlich \(1- \frac{1}{(n+1)+1} \) rauskommen, es muss also irgendwo was nicht stimmen.

Bis zu dem Punkt, wo du die Induktionshypothese anwendest stimmt alles.

 

Was du unten machst ist mir irgendwie nicht klar. Du kannst ja nicht einfach bei "Gleichheits-Umformungen" mit (-1) multiplizieren oder durch 2 Teilen. Das dartfst du nur bei Äquivalenzumformungen machen!

Da wo du stehen hast Ausrechnen musst du auf -n-2+1 im Zähler kommen, und von da aus auf (-1)*(n+1). Dann kannst du kürzen...