Wie erwähnt wurde, wäre es sinnvoll die Stellen der Ableitung zu betrachten, wo es ein Vorzeichenwechsel, da es dadurch keine Injektivität mehr gibt. Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) ist
\(f'(x) = 2( 2\sin(\frac{1}{x})x - cos(\frac{1}{x}) + 0.5) \).
In deinem Fall gibt es bei jeder Nullstelle der Ableitungsfunktion einen Vorzeichenwechsel.
Da zu zeigen ist, dass \(f(x)\) für jedes offene Intervall \(I\), das die 0 enthält, nicht invertierbar ist, ist es sinnvoll \(\lim_{x \to 0} f'(x)\) zu betrachten. Hier muss man nur noch das Grenzwertvehalten von \(\cos(\frac{1}{x}) + 0.5\) genauer betrachten, weil \(\lim_{x \to 0} 2 \sin(\frac{1}{x})x = 0\) ist.
Die Funktion \( \cos(\frac{1}{x})\) nimmt den Wert -1 an, für alle \(x = \frac{1}{\pi + 2z \pi}\) mit \(z \in \mathbb{Z}\) und nimmt den Wert 1 an, für alle \(x = \frac{1}{2z \pi}\). Dies ist insofern wichig, da bei \( \cos(\frac{1}{x}) = -1\) die Ableitung \(f'(x)\) negativ ist und bei \( \cos(\frac{1}{x}) = 1\) die Ableitung positiv ist (Natürlich hätte man auch andere Werte nehmen können, wo dies auch gilt). Aufgrund der Stetigkeit von \( \cos(\frac{1}{x})\) muss es also dazwischen einen Stelle geben, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet (Zwischenwertsatz) .
Schlielich ist noch zu zeigen, dass in jeder \(\epsilon\)-Umgebung \( \cos(\frac{1}{x})\) die Werte -1 und 1 annimmt. Das heißt in dem Fall: Für jedes \(\epsilon > 0\) gibt es ein \(x\) mit \(\vert x \vert < \epsilon\) und \(x = \frac{1}{n \pi}\) mit \(n \in \mathbb{N}\). Da \(\frac{1}{n}\to 0\) gilt und \(\frac{1}{n\pi} < \frac{1}{n}\) ist, gibt es in der Tat in jeder \(\epsilon\)-Umgebung Stellen, wo \( \cos(\frac{1}{x})\) die Werte -1 und 1 annimmt.
Somit ist gezeigt, dass die Funktion \(f(x)\) in keinem offenen Intervall \(I\), das die 0 enthält, invertierbar ist.
Schüler, Punkte: 52
Also mit 1/2*n*pi (ohne + pi) komme ich auf -1 ─ flocke93 24.05.2020 um 23:43