Isomorphie Z

Aufrufe: 1957     Aktiv: 26.05.2020 um 21:01
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Hallo,

 

kann mir jemad erklären, warum

Z/2Z x Z/2Z nicht isomorph zu Z/4Z sind?

 

wie sieht das direkte Produkt aus und die Verknüpfung?

 

 

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Student, Punkte: 146

 
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nicht isomorphie würde ich damit begründen, dass Z/4Z ja zyklisch ist, Z/2Z x Z/2Z aber nicht.

Z/2Z x Z/2Z besteht ja aus allen paaren (a,b) mit a,b aus Z/2Z also insgesamt {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. die addition ist komponentenweise. beantwortet das deine frage?

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Student, Punkte: 2.33K

 
Vielen Dank für die rasche Antwort.
Kannst du es bisschen ausführlicher erklären?.
Die Paare habe ich mir aufgeschrieben und weiter weiss ich nicht.. Warum ist Z/2Z x Z/2Z nicht zyklisch und warum Z/4 zyklisch?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 17:21
Z/4Z wird ja schon durch die 1 aufgespannt, ist also zyklisch.
und bei Z/2ZxZ/2Z kannst es ja selber probieren. wenn es zyklisch wäre, müsste es ja ein erzeugendes element geben - es gibt ja aber nur 4 also ist es relativ einfach alle einmal durchzuprobieren. also schau dir an wie der spann von den jeweiligen elementen aus Z/2Z x Z/2Z aussieht   ─   b_schaub 26.05.2020 um 17:23
Heisst das, dass ich alle vier miteinander addiere? So bekomme ich alle paare ausser die (0,0). Und deshalb ist es nicht zyklisch?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 17:36
das sind ja beides gruppen mit +.
damit eine gruppe wie gesagt zyklisch ist, muss es ein element x geben, sodass sich jedes element aus der gruppe darstellen lässt als x + x+x+x+... für irgendeine anzahl an x'en.
um zu zeigen, dass es nicht zyklisch ist, kannst du also für jedes x ausprobieren, ob sich alle anderen elemente als summe von x'en darstellen lassen.   ─   b_schaub 26.05.2020 um 17:43
Ok habs verstanden. Reicht es also zu sagen dass das produkt nicht zyklisch ist und aufgrunddessen können sie nicht isomorph sein?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 17:50
Wie wäre es dann aber mit der kleinschen vierergruppe und z/2z x z/2z. Sind isomoprh. Beide nicht zyklisch. wie begründet man hier, dass sie isomorph sind?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 18:01
ja genau, wenn das eine zyklisch wäre, wäre wegen isomorphie auch das andere zyklisch. isomorphie muss man sich ja meistens nur als umbenennung ohne verluststruktur vorstellen. in dem fall ist die struktur zyklisch - jeder (gruppen-)isomorphismus erhält eine solche struktur.
wenn man es ganz genau begründen wollte, könnte man auch sagen, dass ang phi ist isom, dann ist wegen injektivität phi(1) ~= 0, aber auch phi(1+1)~=0 das beides zusammen geht aber nicht, weil in Z/2Z x Z/2Z alle elemente maximal ordnung 2 haben (reminder: ordnung von x ist die natürliche zahl n für die gilt, dass n*x = 0 und k*x ~= 0 für 0
um isomorphie zu begründen, ist es oft am einfachsten, einen expliziten isomorphismus zu finden. probier das mal für die kleinsche vierergruppe   ─   b_schaub 26.05.2020 um 18:26
Beide sind nicht zyklsich aber beide sind abelsch. Würde das bei der kleinschen vierergruppe als begründung reichen?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 19:04
ich hab ja gesagt, dass sich zyklisch und abelsch mit isomorphie übertragen. das heißt aber noch nicht, dass wenn beide gruppen diese eigenschaften haben, sie automatisch isomorph sind. zb ist ja (C_99999, +) mit C_99999 ist die zyklische gruppe der ordnung 99999 auch abelsch und zyklisch aber sicherlich nicht isomorph zur kleinschen vierergruppe.
das soll nur verdeutlichen, dass so ein argument nur für widersprüche gut ist, aber nicht um isomorphie zu begründen. wie gesagt musst du stattdessen einen isomorphismus per hand bauen - eigentlich nicht schwierig in dem fall weil ja ein homomorphismus Z/2Z x Z/2Z -> kleinsche vierergruppe durch angabe der bilder von (1,0) und (0,1) eindeutig bestimmt ist - bijektivität müsste man dann halt nur noch zeigen   ─   b_schaub 26.05.2020 um 19:11
Also jz versuch ich es mal zu erklären und du schaust ob das so richtig ist.
Zuerst schau ich mal ob die Ordnung übereinstimmt. Dann schau ich ob beide zyklisch/nicht zyklisch sind. Falls was nicht übereinstimmt, weiss ich dass sie nicht isomorph sind. Aber die beiden aussagen reichen nicht, um zu begründen, dass sie isomorph sind?   ─   mathe92x 26.05.2020 um 19:22
ja richtig. eine weiterer punkt (vorallem mit hinblick auf klausur) kann es sich manchmal lohnen zu schauen, ob die ordnungen aller elemente in beiden gruppen gleichoft auftauchen, da sich die ordnung jedes elementes mit isomorphie überträgt. denn solange n*x ~= 0 muss auch n*phi(x) = phi(n*x) ~= 0 wegen injektivität gelten.
aber genau, andersrum gehts nicht. rein aus den eigenschaften, folgt noch nicht isomorphie.   ─   b_schaub 26.05.2020 um 19:30
Es wird eine mündliche Prüfung sein. Wenn ich an die tafel verschiedene gruppen derselben Ordnung schreiben soll und begründen soll ob sie isomorph sind oder nicht. Kann ich dann anhand der eigenschaften,, die du genannt hast prüfen ob sie isomorph sind? Ich werde nicht viel zeit haben.. 10 min max.   ─   mathe92x 26.05.2020 um 19:46
wie gesagt kannst du damit nur zeigen, dass sie nicht isomorph sind (also nur eine der zwei möglichkeiten)
aber wenn du viel mit den sachen übst, siehst du solche sachen immer ganz schnell. ebenso schnell sieht man meistens auch den isomorphismus wenn er denn existiert.
sicher dass deine prüfung nur 10min dauert? normal geht das schon etwas länger   ─   b_schaub 26.05.2020 um 20:41
Dieser teil dauert nur 10 min :) vielen Dank für deine Hilfe! Und dass du alles ausführlich erklärt hast 🙏🏻🙏🏻   ─   mathe92x 26.05.2020 um 21:01

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