Eigenvektoren aus Matrix berechnen

Aufrufe: 1166     Aktiv: 28.05.2020 um 20:32
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Hi!

Ich versuche seit einigen Studen diese Matrix so zu lösen, dass ich auf die beiden Eigenvektoren komme.

Die Berrechnung der Eigenwerte hat mir angegeben, dass es sich hierbei um einen doppelten Eigenwert handelt. Die Originalmatrix wurde bereits mit den entsprechenden Lambdas verrechnet.

Wäre echt cool, wenn jemand mein Leiden beenden könnte :)

Danke im Vorraus!

 

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Da \( \lambda = 9 \) ein doppelter Eigenwert ist, liegt der sogenannte entartete Fall vor. Du hast nur eine Gleichung in Deinem homogenen Gleichungssystem, denn die 2. ist die Hälfte der 1. und die 3. ist das Negative der ersten. Du kannst also zwei Variable frei vorgeben, z.B. x_3=t_1 und x_2=t_2, dann folgt aus der 1. Gleichung x_1 = -0,5 t_1 +t_2. Nun setze t_1=t_2=1, dann findest Du die erste Lösung und für t_1=-1 und t_2 = 2 folgt der zweite. Die sind übrigens zueinander orthogonal, und das kann man immer realisieren, da im entarteten Fall eine "ganze Ebenen quasi Eigenvektor ist".

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Hey, danke für die Antwort!
Leider kann ich dir nicht ganz folgen, was auch daran liegen kann, dass ich statt mit x_? lieber mit x/y/z arbeite.
Was mir aber das meiste Kopfzerbrechen bereitet hat ist folgende Aussage: "1. Gleichung x_1 = -0,5 t_1 +t_2. Nun setze t_1=t_2=1"
Wenn die Gleichung sagt, dass t_2 das doppelte von t_1 ist, wie kann man dann t_1 = t_2 setzen?
Und selbst wenn wir mit dieser Annahme witermachen, bekommt man doch den Vektor -1,5 / 1 / 1 raus, oder?
Gut möglich, dass ich hier gerade irgendwas völlig falsch sehe, aber ich hänge gedanklich wirklich fest :/   ─   chris1621 27.05.2020 um 21:03

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     Nun, die Zahlen sollen Indizes sein. x,y,z ist bei mir \( x_1, x_2, x_3 \). Alle Eigenvektoren haben die Form wie oben mit  beliebigen Parametern \( t_1 ,  t_2 \). Die kannst Du frei wählen, und ich habe Dir die Wahl angegeben, die jeweils Deine angegebenen Vektoren erzeugt. Falls das noch nicht klar ist, wieder melden.

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OMG, ich kann nicht fassen, dass ich bis jetzt gebraucht habe, um diese simpelste Gleichung zu verstehen, aber jetzt hab ich es! Danke! :D

Eine Frage hab ich aber noch: Ich brauche wegen der algebraischen Vielefachheit zwei linear unabhängige Vektoren für den Eigenraum, damit ich die Matrix diagonalisieren kann.
Ist es möglich aus der ober stehenden Matrix noch einen dritten lin. unabh. Vektor zu generieren? Oder wird beim gaußen dieser Vektoren immer einer rausfallen?
Und umgekehrt, wenn es nur einen Vektor gibt (und die matrix somit nicht diagonalisierbar ist), wie kann ich mir sicher sein, dass es keinen zweiten gibt und ich nicht einfach zu doof bin passende Zahlen einzusetzen?

Vielen dank für deine Zeit!
Christoph   ─   chris1621 28.05.2020 um 12:12

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